Esboce os gráficos das funções abaixo:
i) f(x)=x^-6

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x^-6
Este é um caso de função potência com expoente negativo e par. Para esboçar, vamos analisar domínio, limites, simetria, monotonicidade e pontos notáveis.

Passo 2

Determinar o domínio e possíveis assíntotas
O expoente negativo obriga xneq0.
  • Domínio: xinRmid xneq0.
  • Há assíntota vertical em x=0.

Passo 3

Analisar a simetria
f(-x)=(-x)^-6=(-1)^-6x^-6=x^-6=f(x),
logo é função par, simétrica em relação ao eixo y.

Passo 4

Calcular os limites para entender o comportamento próximo a zero e no infinito
  • Para xto0^+ ou xto0^-, o expoente negativo faz f(x)to+infty.
  • Para xto+infty ou xto-infty, x^-6to0^+.
    Logo há também assíntota horizontal em y=0.

Passo 5

Estudar a monotonicidade usando a derivada
f'(x) = -6,x^-7
  • Em x>0, f'(x)<0: a curva é decrescente.
  • Em x<0, f'(x)>0: a curva é crescente.

Passo 6

Marcar pontos notáveis para guiar o esboço
f(1)=1^-6=1, f(2)=2^-6=tfrac164, f(-1)=1, f(-2)=tfrac164

Passo 7

Juntar tudo no esboço
  • Dois ramos simétricos em relação ao eixo y.
  • Cada ramo parte de +infty em xto0, passa por (pm1,1) e tende a 0 em xtopminfty.
  • Decrescente em (0,+infty), crescente em (-infty,0).
Um esboço aproximado em ASCII (onde “*” indica a curva):
  y
  \uparrow
+infty * *
| * *
| *
| *
| *
| * *
+------ +------- to x
012

Resposta

O gráfico de ,f(x)=x^-6, tem dois ramos simétricos em torno do eixo y, com assíntota vertical em x=0 e horizontal em y=0, passando por (pm1,1), decrescendo para x>0 e crescendo para x<0.

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