Esboce os gráficos das funções abaixo:
g) f(x)=raiz[4]x

Passo 1

O enunciado pede que a gente faça o esboço do gráfico da função
f(x)=raiz[4]x=x^tfrac14
Aqui o conteúdo envolve funções de potência com expoente entre 0 e 1, então precisamos determinar domínio, monotonicidade, concavidade e alguns pontos notáveis para desenhar.

Passo 2

Determinar o domínio. Como só podemos tirar raiz de índice par de números não negativos,
dom(f)=xinRmid x>=0

Passo 3

Estudar a monotonicidade usando a derivada. Calculamos
f'(x)=14,x^-tfrac34,
que é positiva para todo x>0. Logo, f é estritamente crescente em [0,infty). Note também que
limxto0^+f'(x)=+infty,
ou seja, a curva fica quase vertical perto de x=0, e
limxtoinftyf'(x)=0,
indicando que a curva vai se achatando para grandes x.

Passo 4

Estudar a concavidade com a segunda derivada.
f''(x)=-316,x^-tfrac74,
que é negativa em todo x>0. Portanto, f é côncava para baixo em todo o domínio.

Passo 5

Identificar pontos e comportamento limite:
  • f(0)=0.
  • f(1)=1.
  • Por exemplo, f(16)=raiz[4]16=2.
  • Para xtoinfty, f(x)toinfty mas lentamente (achatando).
  • Para xto0^+, f(x)to0 com inclinação muito grande (quase vertical).

Passo 6

Esboçar o gráfico:
Desenhe eixos x>=0 e y>=0. Marque os pontos (0,0), (1,1) e (16,2). A partir de (0,0) a curva sobe rapidamente (quase vertical) e depois vai se achatando, passando por (1,1) e chegando em (16,2), continuando sempre crescente e côncava para baixo.

Resposta

O gráfico de f(x)=raiz[4]x é uma curva que parte de (0,0) com tangente quase vertical, cresce de forma decrescente (a inclinação vai diminuindo) passando por (1,1) e se estende indefinidamente para a direita, cada vez mais achatada.

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