27 Esboce o hexágono regular cujos vértices estão na circunferência unitária, com um dos vértices no ponto (1,0).

Passo 1

O enunciado pede para esboçar um hexágono regular inscrito na circunferência de raio 1 centrada na origem, com um de seus vértices em (1,0). Vamos usar coordenadas polares e a noção de ângulo central para determinar os vértices.

Passo 2

Num hexágono regular inscrito numa circunferência, os seis vértices são obtidos pelos ângulos centrais igualmente espaçados em
\frac{360^\circ}{6}=60^\circ.
Definimos então
\theta_k = k\cdot 60^\circ,\quad k=0,1,2,3,4,5.

Passo 3

Convertendo cada ponto para coordenadas cartesianas pela relação (x,y)=(\cos\theta,\sin\theta), obtemos os vértices
V_0=(\cos0,\sin0)=(1,0),
V_1=\Bigl(\cos60^\circ,\sin60^\circ\Bigr)=\Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),
V_2=\Bigl(\cos120^\circ,\sin120^\circ\Bigr)=\Bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),
V_3=(\cos180^\circ,\sin180^\circ)=(-1,0),
V_4=\Bigl(\cos240^\circ,\sin240^\circ\Bigr)=\Bigl(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),
V_5=\Bigl(\cos300^\circ,\sin300^\circ\Bigr)=\Bigl(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).

Passo 4

Para esboçar, trace a circunferência de raio 1 em torno da origem, marque os pontos V_0,V_1,\dots,V_5 e una cada par de vértices consecutivos (V_k a V_{k+1}), fechando de V_5 de volta em V_0.

Resposta

Os vértices do hexágono regular inscrito na circunferência unitária são
(1,0),\;\Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\;\Bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\;(-1,0),\;\Bigl(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\;\Bigl(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),
e basta unir cada par de vizinhos em ordem circular para completar o esboço.

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