(Escola Naval-15) Uma função y= f^{\prime}(x) é delinida pelo determinante da matriz A=\left[\begin{array}{cccc}x^{2} & x-1 & x & -2 \\\ x^{3} & x & x & 1-x \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\ x & 1 & 0 & -1\end{array}\right] em
que cada x \in I R tal que A é invertível. É
correto afirmar que o conjunto imagem de fé igual a:
a) (-\infty, 4]
b) \{\mathrm{R}-\{0,4\}
c) (-\infty, 4]-\{0\}
d) (-\infty, 4)
e) [4,+\infty)

Passo 1

O enunciado define a derivada y = f'(x) como o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} x^{2} & x-1 & x & -2 \\\ x^{3} & x & x & 1-x \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\ x & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
e restringe o domínio a todos os x\in\mathbb{R} tais que A é invertível. Queremos achar o conjunto imagem de f'. Para isso, vamos (1) calcular \det(A), (2) identificar o domínio excluindo onde \det(A)=0 e (3) determinar a imagem da função quadrática resultante.

Passo 2

Calculamos \det(A) expandindo pela terceira linha, que tem apenas um elemento não nulo em coluna 1:
\det(A) =\;(-1)^{3+1}\cdot1\cdot \det\begin{pmatrix} x-1 & x & -2\\\ x & x & 1-x\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} =\det(B).
Agora
B=\begin{pmatrix} x-1 & x & -2\\\ x & x & 1-x\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},
então
\det(B) =(x-1)\begin{vmatrix}x & 1-x\\\ 0 & -1\end{vmatrix} - x\begin{vmatrix}x & 1-x\\\ 1 & -1\end{vmatrix} -2\begin{vmatrix}x & x\\\ 1 & 0\end{vmatrix}.
Calculando cada menor:
\begin{vmatrix}x & 1-x\\\ 0 & -1\end{vmatrix} =-x,\quad \begin{vmatrix}x & 1-x\\\ 1 & -1\end{vmatrix}=-1,\quad \begin{vmatrix}x & x\\\ 1 & 0\end{vmatrix}=-x.
Logo
\det(B) =(x-1)(-x) - x(-1) -2(-x) =-x^2+x + x +2x =-x^2+4x =x(4-x).
Portanto
f'(x)=\det(A)=x(4-x).

Passo 3

A matriz A é invertível se e somente se \det(A)\neq0, ou seja,
x(4-x)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq0,\;x\neq4.
Assim o domínio de f' é \mathbb{R}\setminus\{0,4\}.

Passo 4

A função y=x(4-x) é uma parábola com concavidade para baixo, cujo vértice está em x=2 e dá
y_{\max}=2\cdot(4-2)=4.
Para x\to\pm\infty, y\to-\infty. Portanto, considerando x em toda reta real, o alcance seria (-\infty,4].

Passo 5

Porém, como excluímos x=0 e x=4, os únicos pontos onde x(4-x)=0 não são alcançados. Assim a imagem de f' é todos os valores de (-\infty,4] exceto 0:
\mathrm{Im}(f') =(-\infty,4]\setminus\{0\}.

Resposta

c) (-\,\infty,4]-\{0\}
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados