(Escola Naval-15) Uma função y=f^{\prime}(x) é delinida pelo determinante da matriz A=\left[\begin{array}{cccc}x^{2} & x-1 & x & -2 \\\ x^{3} & x & x & 1-x \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\ x & 1 & 0 & -1\end{array}\right] em
que cada x \in I R tal que A é invertível. É
correto afirmar que o conjunto imagem de fé igual a:
a) (-\infty, 4]
b) \{\mathrm{R}-\{0,4\}
c) (-\infty, 4]-\{0\}
d) (-\infty, 4)
e) [4,+\infty)
Passo 1
O enunciado define a derivada y = f'(x) como o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} x^{2} & x-1 & x & -2 \\\ x^{3} & x & x & 1-x \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\ x & 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
e restringe o domínio a todos os x\in\mathbb{R} tais que A é invertível. Queremos achar o conjunto imagem de f'. Para isso, vamos (1) calcular \det(A), (2) identificar o domínio excluindo onde \det(A)=0 e (3) determinar a imagem da função quadrática resultante.
Passo 2
Calculamos \det(A) expandindo pela terceira linha, que tem apenas um elemento não nulo em coluna 1:
\det(A) =\;(-1)^{3+1}\cdot1\cdot \det\begin{pmatrix} x-1 & x & -2\\\ x & x & 1-x\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} =\det(B).
Agora
B=\begin{pmatrix} x-1 & x & -2\\\ x & x & 1-x\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},