(Escola Naval-98) Uni hexagono regular estủ inscrito num círculo de raio 5. Um dos lados do hexágono também é lado de um quadrado construido exteriormente ao hexágono. A distancia entre o centro do circulo e a interseçio das diagonais do quadrado é:
a) \frac{5}{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})
b) 5(\sqrt{3}+1)
c) \frac{15}{2}
c) 5(\sqrt{3}+\sqrt{2})

Passo 1

O enunciado diz que temos um hexágono regular inscrito num círculo de raio 5. Num hexágono regular inscrito, cada lado vale o raio do círculo, então o lado do hexágono é
s = 5.
Sobre um desses lados, construímos exteriormente um quadrado de lado também s=5. O que precisamos achar é a distância entre o centro do círculo (e do hexágono) e o ponto de interseção das diagonais do quadrado (ou seja, o centro do próprio quadrado).

Passo 2

Seja O o centro do círculo, A e B os extremos do lado do hexágono que é também lado do quadrado, e seja M o ponto médio de AB.
  • A distância de O a M é a distância do centro do hexágono ao ponto médio de um lado. Num hexágono regular inscrito, essa distância vale
OM = \frac{5\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

No quadrado de lado s=5, o centro S do quadrado situa-se a uma distância de \tfrac{s}{2}= \tfrac{5}{2} do ponto médio M, ao longo da direção perpendicular a AB, apontando para fora do hexágono. Logo,
MS = \frac{5}{2}.

Passo 4

Os vetores OM e MS são colineares (ambos apontam radialmente para fora do hexágono), portanto a distância buscada é simplesmente
OS = OM + MS = \frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}\,\bigl(\sqrt{3}+1\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}\,(\sqrt{3}+1)

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