Uma esfera é colocada no interior de um vaso cônico com
de geratriz e
de altura. Sabendo que os pontos de tangência das geratrizes com a superfície esférica estão a 3 cm do vértice, calcule o raio da esfera.
Passo 1
O enunciado diz que uma esfera está dentro de um cone reto de geratriz
e altura
. Os pontos de tangência da esfera com as geratrizes estão a
do vértice. Precisamos encontrar o raio
da esfera. Usaremos um corte diametral do cone, trabalhando em 2D com um triângulo isósceles, e empregaremos geometria analítica (distância de ponto a reta e condição de perpendicularidade).
Passo 2
No corte diametral o triângulo tem base de raio
e vértice em
, base de
e simetria no eixo
. A geratriz no corte é o segmento
.
Passo 3
O ponto de tangência
fica a
cm de
ao longo de
. A unidade ao longo de
é
logo
Passo 4
Seja
o centro da seção da esfera. A reta
tem direção
. Como o raio até
é perpendicular a essa reta, temos
Mas
. Como
está a
cm de
sobre
, tem
, e
Logo
Passo 5
A distância de
à reta
é o raio
. A forma geral da reta é
, então