Uma esfera é colocada no interior de um vaso cônico com raiz55 cm de geratriz e raiz30 cm de altura. Sabendo que os pontos de tangência das geratrizes com a superfície esférica estão a 3 cm do vértice, calcule o raio da esfera.

Passo 1

O enunciado diz que uma esfera está dentro de um cone reto de geratriz L=raiz55,cm e altura h=raiz30,cm. Os pontos de tangência da esfera com as geratrizes estão a 3,cm do vértice. Precisamos encontrar o raio r da esfera. Usaremos um corte diametral do cone, trabalhando em 2D com um triângulo isósceles, e empregaremos geometria analítica (distância de ponto a reta e condição de perpendicularidade).

Passo 2

No corte diametral o triângulo tem base de raio
R=raizL^2 - h^2 = raiz55 - 30 = 5
e vértice em V=(0,0), base de A=(5,raiz30) e simetria no eixo y. A geratriz no corte é o segmento VA.

Passo 3

O ponto de tangência T fica a 3 cm de V ao longo de VA. A unidade ao longo de VA é
u = l(5raiz55,,raiz30raiz55r),
logo
T = V + 3,u = l(15raiz55,,3raiz30raiz55r)

Passo 4

Seja C=(0,y0) o centro da seção da esfera. A reta VA tem direção u. Como o raio até T é perpendicular a essa reta, temos
(T - C)cdot u = 0
Mas (T - C)cdot u = Tcdot u - Ccdot u. Como T está a 3 cm de V sobre u, tem Tcdot u = 3, e
Ccdot u = (0,y0)cdotl(5raiz55,raiz30raiz55r) = y0;raiz30raiz55
Logo
3 = y0,raiz30raiz55 Longrightarrow y0 = 3,raiz55raiz30

Passo 5

A distância de C à reta VA é o raio r. A forma geral da reta é raiz30,x - 5,y = 0, então
r = l|raiz30cdot 0 -5,y0r|raiz30+25 = 5,y0raiz55 = 5raiz55;3,raiz55raiz30 = 15raiz30 = raiz302

Resposta

raiz302,cm

Exercícios de Livros Relacionados