11.7.20 Mostre que o wronskiano das funções esféricas modificadas de Bessel é dado por
i_{n}(x) k_{n}^{\prime}(x)-i_{n}^{\prime}(x) k_{n}(x)=-\frac{1}{x^{2}} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções esféricas modificadas de Bessel
\displaystyle i_{n}(x) e \displaystyle k_{n}(x) satisfazem
W(x)\equiv i_{n}(x)\,k_{n}'(x)\;-\;i_{n}'(x)\,k_{n}(x) \;=\;-\frac{1}{x^{2}}.
O conteúdo envolve teoria de equações diferenciais de segunda ordem e cálculo do Wronskiano de duas soluções de
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0.

Passo 2

As funções i_{n}(x) e k_{n}(x) são soluções da EDO
y'' + \frac{2}{x}\,y' - \Bigl(1 + \frac{n(n+1)}{x^{2}}\Bigr)\,y = 0.
Aqui
p(x) = \frac{2}{x}.

Passo 3

Pela teoria geral, se y_{1} e y_{2} resolvem
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = 0,
então o Wronskiano W(x) = y_{1}y_{2}' - y_{1}'y_{2} satisfaz
W(x) = C\,e^{-\int p(x)\,dx}.
No nosso caso, \int p(x)\,dx = \int \tfrac{2}{x}\,dx = 2\ln x, logo
W(x) = \frac{C}{x^{2}},
para alguma constante C.

Passo 4

Falta determinar C. Para isso, usamos o comportamento assintótico quando x\to\infty:
i_{n}(x)\sim \frac{e^{x}}{2x}, \qquad k_{n}(x)\sim \frac{e^{-x}}{x}.
Calculamos então, apenas com os termos principais,
k_{n}'(x)\sim -\frac{e^{-x}}{x}-\frac{e^{-x}}{x^{2}}, \qquad i_{n}'(x)\sim \frac{e^{x}}{2x}-\frac{e^{x}}{2x^{2}}.
Logo
i_{n}k_{n}' \sim -\Bigl(\frac{1}{2x^{2}}+\frac{1}{2x^{3}}\Bigr), \quad i_{n}'k_{n} \sim \frac{1}{2x^{2}}-\frac{1}{2x^{3}},
e assim
W(x)=i_{n}k_{n}'-i_{n}'k_{n} \sim -\frac{1}{x^{2}}.
Comparando com W(x)=C/x^{2} obtemos C=-1.

Resposta

i_{n}(x)\,k_{n}'(x)\;-\;i_{n}'(x)\,k_{n}(x) \;=\; -\frac{1}{x^{2}}.

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