2.1.6 No espaço de Minkowski definimos x1=x, x2=y, x3=z e x0=c t. Fazemos isso para que o intervalo métrico se torne d s^2=d x0^2-d x1^2-d x2^2-d x3^2 (com c= velocidade da luz). Mostre que a métrica no espaço de Minkowski é
(gi j)=(cccc 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 )
Usamos o espaço de Minkowski nas Seções 4.5 e 4.6 para descrever as transformações de Lorentz.

Passo 1

O enunciado define coordenadas no espaço de Minkowski por
x0 = c,t, x1 = x, x2 = y, x3 = z
e dá o elemento de comprimento
d s^2 = d x0^2 - d x1^2 - d x2^2 - d x3^2
O objetivo é reconhecer nessa expressão a forma canônica
d s^2 = gij,d x^i,d x^j
e, a partir daí, ler os componentes gij, montando a matriz métrica.

Passo 2

Por definição, para qualquer variedade com coordenadas x^i e tensor métrico gij, vale
d s^2 = gij,d x^i,d x^j
No caso de Minkowski, queremos comparar essa soma dupla com
d x0^2 - d x1^2 - d x2^2 - d x3^2

Passo 3

Ao expandir a soma gij,d x^i,d x^j temos termos do tipo
g00,d x^0d x^0,; g11,d x^1d x^1,; g22,d x^2d x^2,; g33,d x^3d x^3
e termos mistos gij,d x^id x^j com ineq j. Como na expressão dada não há termos mistos, concluímos que
gij = 0para ineq j
Comparando coeficientes dos quadrados temos
g00 = +1, g11 = g22 = g33 = -1

Passo 4

Agrupando tudo em forma de matriz 4times4, obtemos
l(gijr) = 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1

Resposta

l(gijr) = 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1

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