2.1.6 No espaço de Minkowski definimos x_{1}=x, x_{2}=y, x_{3}=z e x_{0}=c t. Fazemos isso para que o intervalo métrico se torne d s^{2}=d x_{0}^{2}-d x_{1}^{2}-d x_{2}^{2}-d x_{3}^{2} (com c= velocidade da luz). Mostre que a métrica no espaço de Minkowski é
\left(g_{i j}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)
Usamos o espaço de Minkowski nas Seções 4.5 e 4.6 para descrever as transformações de Lorentz.

Passo 1

O enunciado define coordenadas no espaço de Minkowski por
x_0 = c\,t,\quad x_1 = x,\quad x_2 = y,\quad x_3 = z
e dá o elemento de comprimento
d s^{2} = d x_{0}^{2} - d x_{1}^{2} - d x_{2}^{2} - d x_{3}^{2}.
O objetivo é reconhecer nessa expressão a forma canônica
d s^{2} = g_{ij}\,d x^{i}\,d x^{j}
e, a partir daí, ler os componentes g_{ij}, montando a matriz métrica.

Passo 2

Por definição, para qualquer variedade com coordenadas x^{i} e tensor métrico g_{ij}, vale
d s^{2} = g_{ij}\,d x^{i}\,d x^{j}.
No caso de Minkowski, queremos comparar essa soma dupla com
d x_{0}^{2} - d x_{1}^{2} - d x_{2}^{2} - d x_{3}^{2}.

Passo 3

Ao expandir a soma g_{ij}\,d x^{i}\,d x^{j} temos termos do tipo
g_{00}\,d x^{0}d x^{0},\; g_{11}\,d x^{1}d x^{1},\; g_{22}\,d x^{2}d x^{2},\; g_{33}\,d x^{3}d x^{3}
e termos mistos g_{ij}\,d x^{i}d x^{j} com i\neq j. Como na expressão dada não há termos mistos, concluímos que
g_{ij} = 0\quad\text{para }i\neq j.
Comparando coeficientes dos quadrados temos
g_{00} = +1, \quad g_{11} = g_{22} = g_{33} = -1.

Passo 4

Agrupando tudo em forma de matriz 4\times4, obtemos
\bigl(g_{ij}\bigr) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

\bigl(g_{ij}\bigr) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

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