2.1.6 No espaço de Minkowski definimos
e
. Fazemos isso para que o intervalo métrico se torne
(com
velocidade da luz). Mostre que a métrica no espaço de Minkowski é
Usamos o espaço de Minkowski nas Seções 4.5 e 4.6 para descrever as transformações de Lorentz.
Passo 1
O enunciado define coordenadas no espaço de Minkowski por
e dá o elemento de comprimento
O objetivo é reconhecer nessa expressão a forma canônica
e, a partir daí, ler os componentes
, montando a matriz métrica.
Passo 2
Por definição, para qualquer variedade com coordenadas
e tensor métrico
, vale
No caso de Minkowski, queremos comparar essa soma dupla com
Passo 3
Ao expandir a soma
temos termos do tipo
e termos mistos
com
. Como na expressão dada não há termos mistos, concluímos que
Comparando coeficientes dos quadrados temos
Passo 4
Agrupando tudo em forma de matriz
, obtemos