2.1.6 No espaço de Minkowski definimos e . Fazemos isso para que o intervalo métrico se torne (com velocidade da luz). Mostre que a métrica no espaço de Minkowski é
Usamos o espaço de Minkowski nas Seções 4.5 e 4.6 para descrever as transformações de Lorentz.
Passo 1
O enunciado define coordenadas no espaço de Minkowski por
x0 = c,t, x1 = x, x2 = y, x3 = z
e dá o elemento de comprimento
d s^2 = d x0^2 - d x1^2 - d x2^2 - d x3^2
O objetivo é reconhecer nessa expressão a forma canônica
d s^2 = gij,d x^i,d x^j
e, a partir daí, ler os componentes gij, montando a matriz métrica.
Passo 2
Por definição, para qualquer variedade com coordenadas x^i e tensor métrico gij, vale
d s^2 = gij,d x^i,d x^j
No caso de Minkowski, queremos comparar essa soma dupla com
d x0^2 - d x1^2 - d x2^2 - d x3^2
Passo 3
Ao expandir a soma gij,d x^i,d x^j temos termos do tipo