2.1.2 No sistema coordenado polar esférico, q1=r, q2=theta, q3=varphi. As equações de transformação correspondentes à Equação (2.1) são
x=r sen theta cos varphi, y=r sen theta sen varphi, z=r cos theta
(a) Calcule os fatores de escala de coordenadas polares esféricas: hr, htheta e hvarphi.
(b) Verifique os fatores de escala que calculou pela relação d si=hi d qi.

Passo 1

O enunciado define as coordenadas polares esféricas por
x = r,sinthetacosvarphi, y = r,sinthetasinvarphi, z = r,costheta
e pede para calcular os fatores de escala hr,htheta,hvarphi.
Em coordenadas curvilíneas qi, cada fator de escala é dado por
hi = raizl(partial xpartial qir)^2 + l(partial ypartial qir)^2 + l(partial zpartial qir)^2,
Depois, devemos verificar que o comprimento de arco ao variar só uma coordenada obedece dsi = hi,dqi.

Passo 2

Calcular hr.
partial xpartial r = sinthetacosvarphi, partial ypartial r = sinthetasinvarphi, partial zpartial r = costheta
Logo,
hr = raiz (sinthetacosvarphi)^2 + (sinthetasinvarphi)^2 + (costheta)^2 = raizsin^2theta(cos^2varphi+sin^2varphi) + cos^2theta = 1

Passo 3

Calcular htheta.
partial xpartial theta = rcosthetacosvarphi, partial ypartial theta = rcosthetasinvarphi, partial zpartial theta = -rsintheta
Então
htheta = raiz r^2cos^2theta(cos^2varphi+sin^2varphi) + r^2sin^2theta = raizr^2(cos^2theta + sin^2theta) = r

Passo 4

Calcular hvarphi.
partial xpartial varphi = -rsinthetasinvarphi, partial ypartial varphi = rsinthetacosvarphi, partial zpartial varphi = 0
Logo
hvarphi = raizr^2sin^2theta,(sin^2varphi+cos^2varphi) = r,sintheta

Passo 5

Verificar pelos comprimentos de arco dsi = hi,dqi.
Se só r varia, ds = dr, pois hr=1.
Se só theta varia, descrevemos um arco de círculo de raio r, então ds = r,dtheta.
Se só varphi varia, o raio do círculo de latitude é rsintheta, logo ds = rsintheta,dvarphi.
Isso confirma dsi=hi,dqi com os valores encontrados.

Resposta

(a)
hr = 1, htheta = r, hvarphi = r,sintheta
(b)
dsr = dr, dstheta = r,dtheta, dsvarphi = r,sintheta,dvarphi,
o que coincide com dsi=hi,dqi.

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