2.1.2 No sistema coordenado polar esférico, q_{1}=r, q_{2}=\theta, q_{3}=\varphi. As equações de transformação correspondentes à Equação (2.1) são
x=r \operatorname{sen} \theta \cos \varphi, \quad y=r \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \varphi, \quad z=r \cos \theta
(a) Calcule os fatores de escala de coordenadas polares esféricas: h_{r}, h_{\theta} e h_{\varphi}.
(b) Verifique os fatores de escala que calculou pela relação d s_{i}=h_{i} d q_{i}.

Passo 1

O enunciado define as coordenadas polares esféricas por
x = r\,\sin\theta\cos\varphi,\quad y = r\,\sin\theta\sin\varphi,\quad z = r\,\cos\theta
e pede para calcular os fatores de escala h_{r},h_{\theta},h_{\varphi}.
Em coordenadas curvilíneas \{q_i\}, cada fator de escala é dado por
h_i = \sqrt{\Bigl(\frac{\partial x}{\partial q_i}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\partial y}{\partial q_i}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\partial z}{\partial q_i}\Bigr)^2}\,.
Depois, devemos verificar que o comprimento de arco ao variar só uma coordenada obedece ds_i = h_i\,dq_i.

Passo 2

Calcular h_{r}.
\frac{\partial x}{\partial r} = \sin\theta\cos\varphi,\quad \frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta\sin\varphi,\quad \frac{\partial z}{\partial r} = \cos\theta
Logo,
h_{r} = \sqrt{ (\sin\theta\cos\varphi)^2 + (\sin\theta\sin\varphi)^2 + (\cos\theta)^2 } = \sqrt{\sin^2\theta(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi) + \cos^2\theta} = 1.

Passo 3

Calcular h_{\theta}.
\frac{\partial x}{\partial \theta} = r\cos\theta\cos\varphi,\quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta\sin\varphi,\quad \frac{\partial z}{\partial \theta} = -r\sin\theta
Então
h_{\theta} = \sqrt{ r^2\cos^2\theta(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi) + r^2\sin^2\theta } = \sqrt{r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} = r.

Passo 4

Calcular h_{\varphi}.
\frac{\partial x}{\partial \varphi} = -r\sin\theta\sin\varphi,\quad \frac{\partial y}{\partial \varphi} = r\sin\theta\cos\varphi,\quad \frac{\partial z}{\partial \varphi} = 0
Logo
h_{\varphi} = \sqrt{r^2\sin^2\theta\,(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi)} = r\,\sin\theta.

Passo 5

Verificar pelos comprimentos de arco ds_i = h_i\,dq_i.
Se só r varia, ds = dr, pois h_{r}=1.
Se só \theta varia, descrevemos um arco de círculo de raio r, então ds = r\,d\theta.
Se só \varphi varia, o raio do círculo de latitude é r\sin\theta, logo ds = r\sin\theta\,d\varphi.
Isso confirma ds_{i}=h_{i}\,dq_{i} com os valores encontrados.

Resposta

(a)
h_{r} = 1,\quad h_{\theta} = r,\quad h_{\varphi} = r\,\sin\theta.
(b)
ds_{r} = dr,\quad ds_{\theta} = r\,d\theta,\quad ds_{\varphi} = r\,\sin\theta\,d\varphi,
o que coincide com ds_{i}=h_{i}\,dq_{i}.

Exercícios de Livros Relacionados