2.1.3 O sistema de coordenadas u, v, z usado com muita freqüência em eletrostática e hidrodinâmica é definido por
x y=u, x^2-y^2=v, z=z
Esse sistema u, v, z é ortogonal.
(a) Com suas próprias palavras, faça uma breve descrição da natureza de cada uma das três famílias de superfícies coordenadas.
(b) Esboce o sistema no plano x y mostrando as interseções de superfícies de u constante e superfícies de v constante com o plano x y.
(c) Indique as direções dos vetores unitários u e v em todos os quatro quadrantes.
(d) Por fim, esse sistema u, v, z é dextrogiro ( u times v=+z ) ou levogiro ( u times v=-z )?

Passo 1

Resumo do enunciado: definem-se as coordenadas u,v,z via
u = xy, v = x^2 - y^2, z = z
O sistema é ortogonal. Precisamos
(a) descrever a natureza das superfícies u=const, v=const, z=const;
(b) esboçar no plano xy as curvas de nível de u e v;
(c) indicar as direções dos versores u e v em cada quadrante;
(d) verificar se utimesv=+z ou -z.

Passo 2

Resposta (a): As superfícies coordenadas são
u=const;Rightarrow;xy=u0,
que são hipérboles retangulares cujos ramos ocupam quadrantes opostos (se u0>0, ramos em I e III; se u0<0, em II e IV);
v=const;Rightarrow;x^2-y^2=v0,
que também são hipérboles retangulares com eixos alinhados a x e y (se v0>0, ramos abertos ao longo de x; se v0<0, ao longo de y);
z=const;Rightarrow;planos horizontais para<=los ao plano xy

Passo 3

Resposta (b): No plano xy (isto é, z=0), as curvas u=u0 são as hipérboles xy=u0 e as curvas v=v0 são as hipérboles x^2-y^2=v0. Um esboço qualitativo mostra duas famílias ortogonais de hipérboles: uma com ramos em I/III e outra com ramos simétricos em torno dos eixos, cruzando-se ortogonalmente.

Passo 4

Resposta (c): Os versores seguem a direção dos gradientes normalizados
uproptonabla u=(y,x), vproptonabla v=(2x,-2y)
Em cada quadrante:
Quadrante I ( x>0,y>0): nabla usim(+,+) aponta para nordeste; nabla vsim(+,-) aponta para sudeste.
Quadrante II ( x<0,y>0): nabla usim(+,-) aponta para sudeste; nabla vsim(-,-) aponta para sudoeste.
Quadrante III ( x<0,y<0): nabla usim(-,-) aponta para sudoeste; nabla vsim(-,+) aponta para noroeste.
Quadrante IV ( x>0,y<0): nabla usim(-,+) aponta para noroeste; nabla vsim(+,+) aponta para nordeste.

Passo 5

Resposta (d): O produto vetorial dos gradientes dá a orientação
nabla utimesnabla v = i&j&k y & x & 0 2x & -2y & 0 =(ycdot(-2y)-xcdot2x),k =-2(x^2+y^2),k
Como x^2+y^2>0, temos nabla utimesnabla v na direção -k. Assim
utimesv=-z
e o sistema é levogiro.

Resposta

(a) As superfícies u=const são hipérboles retangulares xy=u0, v=const são hipérboles retangulares x^2-y^2=v0 e z=const são planos horizontais.
(b) No plano xy, as curvas u=u0 e v=v0 formam duas famílias ortogonais de hipérboles, conforme esboçado qualitativamente.
(c) Usando nabla u=(y,x) e nabla v=(2x,-2y), em cada quadrante u e v apontam nas direções indicadas no passo anterior.
(d) O sistema é levogiro, pois utimesv=-z.

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