2.1.3 O sistema de coordenadas u, v, z usado com muita freqüência em eletrostática e hidrodinâmica é definido por
x y=u, \quad x^{2}-y^{2}=v, \quad z=z .
Esse sistema u, v, z é ortogonal.
(a) Com suas próprias palavras, faça uma breve descrição da natureza de cada uma das três famílias de superfícies coordenadas.
(b) Esboce o sistema no plano x y mostrando as interseções de superfícies de u constante e superfícies de v constante com o plano x y.
(c) Indique as direções dos vetores unitários \hat{\mathbf{u}} e \hat{\mathbf{v}} em todos os quatro quadrantes.
(d) Por fim, esse sistema u, v, z é dextrogiro ( \hat{\mathbf{u}} \times \hat{\mathbf{v}}=+\hat{\mathbf{z}} ) ou levogiro ( \hat{\mathbf{u}} \times \hat{\mathbf{v}}=-\hat{\mathbf{z}} )?
Passo 1
Resumo do enunciado: definem-se as coordenadas u,v,z via
u = xy,\quad v = x^2 - y^2,\quad z = z.
O sistema é ortogonal. Precisamos
(a) descrever a natureza das superfícies u=\mathrm{const}, v=\mathrm{const}, z=\mathrm{const};
(b) esboçar no plano xy as curvas de nível de u e v;
(c) indicar as direções dos versores \hat{\mathbf{u}} e \hat{\mathbf{v}} em cada quadrante;
(d) verificar se \hat{\mathbf{u}}\times\hat{\mathbf{v}}=+\hat{\mathbf{z}} ou -\hat{\mathbf{z}}.
Passo 2
Resposta (a): As superfícies coordenadas são
u=\mathrm{const}\;\Rightarrow\;xy=u_0,
que são hipérboles retangulares cujos ramos ocupam quadrantes opostos (se u_0>0, ramos em I e III; se u_0<0, em II e IV);
v=\mathrm{const}\;\Rightarrow\;x^2-y^2=v_0,
que também são hipérboles retangulares com eixos alinhados a x e y (se v_0>0, ramos abertos ao longo de x; se v_0<0, ao longo de y);
z=\mathrm{const}\;\Rightarrow\;\text{planos horizontais paralelos ao plano }xy.
Passo 3
Resposta (b): No plano xy (isto é, z=0), as curvas u=u_0 são as hipérboles xy=u_0 e as curvas v=v_0 são as hipérboles x^2-y^2=v_0. Um esboço qualitativo mostra duas famílias ortogonais de hipérboles: uma com ramos em I/III e outra com ramos simétricos em torno dos eixos, cruzando-se ortogonalmente.
Passo 4
Resposta (c): Os versores seguem a direção dos gradientes normalizados
Em cada quadrante:
Quadrante I (x>0,y>0): \nabla u\sim(+,+) aponta para nordeste; \nabla v\sim(+,-) aponta para sudeste.
Quadrante II (x<0,y>0): \nabla u\sim(+,-) aponta para sudeste; \nabla v\sim(-,-) aponta para sudoeste.
Quadrante III (x<0,y<0): \nabla u\sim(-,-) aponta para sudoeste; \nabla v\sim(-,+) aponta para noroeste.
Quadrante IV (x>0,y<0): \nabla u\sim(-,+) aponta para noroeste; \nabla v\sim(+,+) aponta para nordeste.
Passo 5
Resposta (d): O produto vetorial dos gradientes dá a orientação
\nabla u\times\nabla v = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ y & x & 0\\\\ 2x & -2y & 0 \end{vmatrix} =(y\cdot(-2y)-x\cdot2x)\,\mathbf{k} =-2(x^2+y^2)\,\mathbf{k}.
Como x^2+y^2>0, temos \nabla u\times\nabla v na direção -\mathbf{k}. Assim \hat{\mathbf{u}}\times\hat{\mathbf{v}}=-\hat{\mathbf{z}}
e o sistema é levogiro.
Resposta
(a) As superfícies u=\mathrm{const} são hipérboles retangulares xy=u_0, v=\mathrm{const} são hipérboles retangulares x^2-y^2=v_0 e z=\mathrm{const} são planos horizontais.
(b) No plano xy, as curvas u=u_0 e v=v_0 formam duas famílias ortogonais de hipérboles, conforme esboçado qualitativamente.
(c) Usando \nabla u=(y,x) e \nabla v=(2x,-2y), em cada quadrante \hat{\mathbf{u}} e \hat{\mathbf{v}} apontam nas direções indicadas no passo anterior.
(d) O sistema é levogiro, pois \hat{\mathbf{u}}\times\hat{\mathbf{v}}=-\hat{\mathbf{z}}.
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 2.1 - Ex. 2.1.3