2.1.3 O sistema de coordenadas usado com muita freqüência em eletrostática e hidrodinâmica é definido por
Esse sistema é ortogonal.
(a) Com suas próprias palavras, faça uma breve descrição da natureza de cada uma das três famílias de superfícies coordenadas.
(b) Esboce o sistema no plano mostrando as interseções de superfícies de constante e superfícies de constante com o plano .
(c) Indique as direções dos vetores unitários e em todos os quatro quadrantes.
(d) Por fim, esse sistema é dextrogiro ( ) ou levogiro ( )?
Passo 1
Resumo do enunciado: definem-se as coordenadas via
O sistema é ortogonal. Precisamos
(a) descrever a natureza das superfícies , , ;
(b) esboçar no plano as curvas de nível de e ;
(c) indicar as direções dos versores e em cada quadrante;
(d) verificar se ou .
Passo 2
Resposta (a): As superfícies coordenadas são
que são hipérboles retangulares cujos ramos ocupam quadrantes opostos (se , ramos em I e III; se , em II e IV);
que também são hipérboles retangulares com eixos alinhados a e (se , ramos abertos ao longo de ; se , ao longo de );
Passo 3
Resposta (b): No plano (isto é, ), as curvas são as hipérboles e as curvas são as hipérboles . Um esboço qualitativo mostra duas famílias ortogonais de hipérboles: uma com ramos em I/III e outra com ramos simétricos em torno dos eixos, cruzando-se ortogonalmente.
Passo 4
Resposta (c): Os versores seguem a direção dos gradientes normalizados
Em cada quadrante:
Quadrante I (): aponta para nordeste; aponta para sudeste.
Quadrante II (): aponta para sudeste; aponta para sudoeste.
Quadrante III (): aponta para sudoeste; aponta para noroeste.
Quadrante IV (): aponta para noroeste; aponta para nordeste.
Passo 5
Resposta (d): O produto vetorial dos gradientes dá a orientação
Como x^2+y^2>0, temos nabla utimesnabla v na direção -k. Assim utimesv=-z
e o sistema é levogiro.
Resposta
(a) As superfícies u=const são hipérboles retangulares xy=u0, v=const são hipérboles retangulares x^2-y^2=v0 e z=const são planos horizontais.
(b) No plano xy, as curvas u=u0 e v=v0 formam duas famílias ortogonais de hipérboles, conforme esboçado qualitativamente.
(c) Usando nabla u=(y,x) e nabla v=(2x,-2y), em cada quadrante u e v apontam nas direções indicadas no passo anterior.
(d) O sistema é levogiro, pois utimesv=-z.
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 2.1 - Ex. 2.1.3