2.1.5 Um sistema ortogonal bidimensional é descrito pelas coordenadas q1 e q2. Mostre que o jacobiano
J(x, yq1, q2) equiv partial(x, y)partial(q1, q2) equiv partial xpartial q1 partial ypartial q2-partial xpartial q2 partial ypartial q1=h1 h2
está de acordo com a Equação (2.10).
Sugestão: É mais fácil trabalhar com o quadrado de cada lado dessa equação.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num sistema de coordenadas ortogonal bidimensional (q1,q2), o jacobiano
J ;=;partial(x,y)partial(q1,q2) ;=;partial xpartial q1;partial ypartial q2 ;-;partial xpartial q2;partial ypartial q1
é igual ao produto dos fatores de escala h1h2.
Aqui vamos usar que, por definição,
h1 ;=;raizl(partial xpartial q1r)^2 + l(partial ypartial q1r)^2 ,, h2 ;=;raizl(partial xpartial q2r)^2 + l(partial ypartial q2r)^2
e que a ortogonalidade implica
partial xpartial q1,partial xpartial q2 ;+; partial ypartial q1,partial ypartial q2 ;=;0

Passo 2

Vamos escrever o quadrado de cada lado da igualdade que queremos provar:
J^2 =l(,x1y2-x2y1r)^2, (h1h2)^2 =l(x1^2+y1^2r),l(x2^2+y2^2r),
onde, para abreviar, definimos
xi equiv partial xpartial qi, yi equiv partial ypartial qi, i=1,2

Passo 3

Expandimos cada quadrado. Primeiro o jacobiano ao quadrado:
J^2 =(x1y2)^2+(x2y1)^2-2,x1y2,x2y1 =x1^2y2^2+x2^2y1^2-2,x1x2y1y2
Agora o produto dos quadrados dos fatores de escala:
h1^2h2^2 =(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2) =x1^2x2^2+x1^2y2^2+y1^2x2^2+y1^2y2^2

Passo 4

Subtraindo, obtemos
h1^2h2^2-J^2 =l(x1^2x2^2+y1^2y2^2+x1^2y2^2+x2^2y1^2r) -l(x1^2y2^2+x2^2y1^2-2x1x2y1y2r)
;=;x1^2x2^2+y1^2y2^2+2,x1x2y1y2 =l(x1x2+y1y2r)^2
Como o sistema é ortogonal, temos ,x1x2+y1y2=0. Logo
h1^2h2^2-J^2=0 Longrightarrow J^2=h1^2h2^2 Longrightarrow J=h1h2,
adotando o sinal positivo para o jacobiano (orientação mantida).

Resposta

partial(x,y)partial(q1,q2)=h1,h2

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