2.1.5 Um sistema ortogonal bidimensional é descrito pelas coordenadas
e
. Mostre que o jacobiano
está de acordo com a Equação (2.10).
Sugestão: É mais fácil trabalhar com o quadrado de cada lado dessa equação.
Sugestão: É mais fácil trabalhar com o quadrado de cada lado dessa equação.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num sistema de coordenadas ortogonal bidimensional
, o jacobiano
é igual ao produto dos fatores de escala
.
Aqui vamos usar que, por definição,
Aqui vamos usar que, por definição,
e que a ortogonalidade implica
Passo 2
Vamos escrever o quadrado de cada lado da igualdade que queremos provar:
onde, para abreviar, definimos
Passo 3
Expandimos cada quadrado. Primeiro o jacobiano ao quadrado:
Agora o produto dos quadrados dos fatores de escala:
Passo 4
Subtraindo, obtemos
Como o sistema é ortogonal, temos
. Logo
adotando o sinal positivo para o jacobiano (orientação mantida).