2.1.5 Um sistema ortogonal bidimensional é descrito pelas coordenadas q_{1} e q_{2}. Mostre que o jacobiano
J\left(\frac{x, y}{q_{1}, q_{2}}\right) \equiv \frac{\partial(x, y)}{\partial\left(q_{1}, q_{2}\right)} \equiv \frac{\partial x}{\partial q_{1}} \frac{\partial y}{\partial q_{2}}-\frac{\partial x}{\partial q_{2}} \frac{\partial y}{\partial q_{1}}=h_{1} h_{2}
está de acordo com a Equação (2.10).
Sugestão: É mais fácil trabalhar com o quadrado de cada lado dessa equação.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num sistema de coordenadas ortogonal bidimensional (q_{1},q_{2}), o jacobiano
J \;=\;\frac{\partial(x,y)}{\partial(q_{1},q_{2})} \;=\;\frac{\partial x}{\partial q_{1}}\;\frac{\partial y}{\partial q_{2}} \;-\;\frac{\partial x}{\partial q_{2}}\;\frac{\partial y}{\partial q_{1}}
é igual ao produto dos fatores de escala h_{1}h_{2}.
Aqui vamos usar que, por definição,
h_{1} \;=\;\sqrt{\Bigl(\frac{\partial x}{\partial q_{1}}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{\partial y}{\partial q_{1}}\Bigr)^{2}} \,,\qquad h_{2} \;=\;\sqrt{\Bigl(\frac{\partial x}{\partial q_{2}}\Bigr)^{2} + \Bigl(\frac{\partial y}{\partial q_{2}}\Bigr)^{2}}
e que a ortogonalidade implica
\frac{\partial x}{\partial q_{1}}\,\frac{\partial x}{\partial q_{2}} \;+\; \frac{\partial y}{\partial q_{1}}\,\frac{\partial y}{\partial q_{2}} \;=\;0.

Passo 2

Vamos escrever o quadrado de cada lado da igualdade que queremos provar:
J^{2} =\Bigl(\,x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\Bigr)^{2}, \qquad (h_{1}h_{2})^{2} =\bigl(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\bigr)\,\bigl(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\bigr),
onde, para abreviar, definimos
x_{i} \equiv \frac{\partial x}{\partial q_{i}}, \quad y_{i} \equiv \frac{\partial y}{\partial q_{i}}, \qquad i=1,2.

Passo 3

Expandimos cada quadrado. Primeiro o jacobiano ao quadrado:
J^{2} =(x_{1}y_{2})^{2}+(x_{2}y_{1})^{2}-2\,x_{1}y_{2}\,x_{2}y_{1} =x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}-2\,x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}.
Agora o produto dos quadrados dos fatores de escala:
h_{1}^{2}h_{2}^{2} =(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}) =x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+y_{1}^{2}x_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}.

Passo 4

Subtraindo, obtemos
h_{1}^{2}h_{2}^{2}-J^{2} =\bigl(x_{1}^{2}x_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}\bigr) -\bigl(x_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}\bigr)
\;=\;x_{1}^{2}x_{2}^{2}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}+2\,x_{1}x_{2}y_{1}y_{2} =\bigl(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\bigr)^{2}.
Como o sistema é ortogonal, temos \,x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0. Logo
h_{1}^{2}h_{2}^{2}-J^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad J^{2}=h_{1}^{2}h_{2}^{2} \quad\Longrightarrow\quad J=h_{1}h_{2},
adotando o sinal positivo para o jacobiano (orientação mantida).

Resposta

\frac{\partial(x,y)}{\partial(q_{1},q_{2})}=h_{1}\,h_{2}.

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