2.1.1 Mostre que limitar nossa atenção a sistemas de coordenadas ortogonais implica que g_{i j}=0 será i \neq j (Equação (2.7)).
Sugestão: Construa um triângulo de lados d s_{1}, d s_{2} e d s_{3}. A Equação (2.9) deve valer independentemente de g_{i j}=0 ou não. Então compare d s^{2} da Equação (2.5) com um cálculo que utilize a lei dos co-senos. Mostre que \cos \theta_{12}=g_{12} / \sqrt{g_{11} g_{22}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em sistemas de coordenadas ortogonais, os termos do tipo g_{ij} com i\neq j devem ser zero (Equação (2.7)). O que vamos usar é a expressão geral do elemento de linha (Equação (2.5)),
ds^2 = g_{11}\,(dx^1)^2 + 2\,g_{12}\,dx^1dx^2 + g_{22}\,(dx^2)^2 + \cdots,
e a lei dos cossenos aplicada a um triângulo cujos lados infinitesimais sejam
\,ds_1,\,ds_2 e ds_3. A tarefa é comparar o resultado desse triângulo com a forma métrica e extrair uma expressão para \cos\theta_{12}.

Passo 2

Definimos três deslocamentos na superfície:
  • d\boldsymbol r_1 varia só em x^1, de modo que dx^1\neq0, dx^2=0. Daí
ds_1^2 = g_{11}\,(dx^1)^2 \quad\Longrightarrow\quad ds_1 = \sqrt{g_{11}}\,dx^1.
  • d\boldsymbol r_2 varia só em x^2, com dx^1=0, dx^2\neq0. Logo
ds_2^2 = g_{22}\,(dx^2)^2 \quad\Longrightarrow\quad ds_2 = \sqrt{g_{22}}\,dx^2.
  • d\boldsymbol r_3 = d\boldsymbol r_2 - d\boldsymbol r_1 é o terceiro lado do triângulo. Nesse caso dx^1\neq0 e dx^2\neq0 e pelo métrico
ds_3^2 = g_{11}(dx^1)^2 + 2\,g_{12}\,dx^1dx^2 + g_{22}(dx^2)^2.

Passo 3

Agora aplicamos a lei dos cossenos ao triângulo cujos lados têm comprimentos ds_1, ds_2 e ds_3, com \theta_{12} o ângulo entre d\boldsymbol r_1 e d\boldsymbol r_2:
ds_3^2 = ds_1^2 + ds_2^2 - 2\,ds_1\,ds_2\,\cos\theta_{12}.

Passo 4

Substituindo ds_1 e ds_2 em termos de dx^1,dx^2:
ds_1 = \sqrt{g_{11}}\,dx^1, \quad ds_2 = \sqrt{g_{22}}\,dx^2,
a lei dos cossenos dá
ds_3^2 = g_{11}(dx^1)^2 + g_{22}(dx^2)^2 -2\,\sqrt{g_{11}}\,dx^1\,\sqrt{g_{22}}\,dx^2\;\cos\theta_{12}
= g_{11}(dx^1)^2 + g_{22}(dx^2)^2 -2\,\sqrt{g_{11}g_{22}}\,dx^1dx^2\;\cos\theta_{12}.

Passo 5

Comparando este resultado com a expressão métrica do

Passo 6

g_{11}(dx^1)^2 + 2\,g_{12}\,dx^1dx^2 + g_{22}(dx^2)^2 \;=\; g_{11}(dx^1)^2 + g_{22}(dx^2)^2 -2\,\sqrt{g_{11}g_{22}}\,dx^1dx^2\;\cos\theta_{12},
vemos que os termos cruzados se igualam se, e só se,
2\,g_{12}\,dx^1dx^2 = -2\,\sqrt{g_{11}g_{22}}\,dx^1dx^2\;\cos\theta_{12} \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta_{12} = -\,\frac{g_{12}}{\sqrt{g_{11}g_{22}}}.
(Pode-se ajustar o sinal dependendo de como se define o sentido de \theta_{12}, mas em módulo fica \bigl|g_{12}\bigr|/\sqrt{g_{11}g_{22}}.)
Para sistemas ortogonais, \theta_{12}=90^\circ e assim \cos\theta_{12}=0.

Resposta

Em coordenadas ortogonais cada par de direções forma ângulo reto, logo
\cos\theta_{ij}=0 \quad\Longrightarrow\quad g_{ij}=0 \quad(i\neq j),
que é justamente a Equação (2.7).

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