2.1.1 Mostre que limitar nossa atenção a sistemas de coordenadas ortogonais implica que g_{i j}=0 será i \neq j (Equação (2.7)).
Sugestão: Construa um triângulo de lados d s_{1}, d s_{2} e d s_{3}. A Equação (2.9) deve valer independentemente de g_{i j}=0 ou não. Então compare d s^{2} da Equação (2.5) com um cálculo que utilize a lei dos co-senos. Mostre que \cos \theta_{12}=g_{12} / \sqrt{g_{11} g_{22}}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em sistemas de coordenadas ortogonais, os termos do tipo g_{ij} com i\neq j devem ser zero (Equação (2.7)). O que vamos usar é a expressão geral do elemento de linha (Equação (2.5)),
e a lei dos cossenos aplicada a um triângulo cujos lados infinitesimais sejam \,ds_1,\,ds_2 e ds_3. A tarefa é comparar o resultado desse triângulo com a forma métrica e extrair uma expressão para \cos\theta_{12}.
Passo 2
Definimos três deslocamentos na superfície:
d\boldsymbol r_1 varia só em x^1, de modo que dx^1\neq0, dx^2=0. Daí
Agora aplicamos a lei dos cossenos ao triângulo cujos lados têm comprimentos ds_1, ds_2 e ds_3, com \theta_{12} o ângulo entre d\boldsymbol r_1 e d\boldsymbol r_2: