2.1.4 O sistema de coordenadas cilíndrico elíptico consiste em três famílias de superfícies:

  1. \frac{x^{2}}{a^{2} \operatorname{cosh} ^{2} u}+\frac{y^{2}}{a^{2} \operatorname{sen} h^{2} u}=1;
  2. \frac{x^{2}}{a^{2} \cos ^{2} v}-\frac{y^{2}}{a^{2} \operatorname{sen}^{2} v}=1;
  3. z=z.
Esboce as superfícies coordenadas u= constante e v= constante na interseção com o primeiro quadrante do plano x y. Mostre os vetores unitários \hat{\mathbf{u}} e \hat{\mathbf{v}}. O intervalo de u é 0 \leq u<\infty. O intervalo de v é 0 \leq v \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe, no primeiro quadrante do plano xy, as curvas coordenadas de um sistema cilíndrico elíptico: as superfícies u= const e v= const dadas pelas equações
\frac{x^{2}}{a^{2}\operatorname{cosh}^{2}u}+\frac{y^{2}}{a^{2}\operatorname{sinh}^{2}u}=1,
\frac{x^{2}}{a^{2}\cos^{2}v}-\frac{y^{2}}{a^{2}\sin^{2}v}=1,
além de mostrar os vetores unitários \hat{\mathbf{u}} e \hat{\mathbf{v}}. Para isso, vamos usar a parametrização natural do sistema e tirar daí as curvas e os vetores de base.

Passo 2

A parametrização típica desse sistema é
x = a\,\operatorname{cosh} u\cos v,\quad y = a\,\operatorname{sinh} u\sin v,\quad z = z,
onde 0\le u<\infty e 0\le v\le2\pi. Com essa fórmula, toda curva de u=u_{0} ou v=v_{0} fica automaticamente definida.

Passo 3

Para u=u_{0} fixo, variando v no primeiro quadrante ( 0\le v\le\pi/2), temos
\frac{x^{2}}{a^{2}\operatorname{cosh}^{2}u_{0}}+\frac{y^{2}}{a^{2}\operatorname{sinh}^{2}u_{0}} = \cos^{2}v + \sin^{2}v = 1,
ou seja, uma elipse de semi-eixos a\operatorname{cosh} u_{0} (no eixo x) e a\operatorname{sinh} u_{0} (no eixo y).
Para v=v_{0} fixo, variando u, aparece
\frac{x^{2}}{a^{2}\cos^{2}v_{0}}-\frac{y^{2}}{a^{2}\sin^{2}v_{0}} = \operatorname{cosh}^{2}u - \operatorname{sinh}^{2}u = 1,
uma hip-erbole com semi-eixos a\cos v_{0} e a\sin v_{0}. No primeiro quadrante basta desenhar algumas elipses para vários u_{0} e algumas hip-erboles para vários v_{0}.

Passo 4

Agora vamos os vetores de base:
\mathbf{r}(u,v) = \bigl(a\operatorname{cosh} u\cos v,\;a\operatorname{sinh} u\sin v,\;0\bigr).
Derivando,
\mathbf{r}_{u} = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u} = \bigl(a\operatorname{sinh} u\cos v,\;a\operatorname{cosh} u\sin v,\;0\bigr),
\mathbf{r}_{v} = \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v} = \bigl(-a\operatorname{cosh} u\sin v,\;a\operatorname{sinh} u\cos v,\;0\bigr).

Passo 5

Calculamos as normas:
\lvert\mathbf{r}_{u}\rvert^{2} = a^{2}\bigl(\operatorname{sinh}^{2}u\cos^{2}v+\operatorname{cosh}^{2}u\sin^{2}v\bigr) = a^{2}\bigl(\operatorname{sinh}^{2}u+\sin^{2}v\bigr),
e, de forma análoga, \lvert\mathbf{r}_{v}\rvert = a\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}u+\sin^{2}v}.
Logo o fator de escala comum é
h(u,v)=a\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}u+\sin^{2}v},
e os vetores unitários são
\hat{\mathbf{u}} =\frac{\mathbf{r}_{u}}{h(u,v)} =\frac{1}{a\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}u+\sin^{2}v}} \bigl(a\operatorname{sinh} u\cos v,\;a\operatorname{cosh} u\sin v,\;0\bigr),
\hat{\mathbf{v}} =\frac{\mathbf{r}_{v}}{h(u,v)} =\frac{1}{a\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}u+\sin^{2}v}} \bigl(-a\operatorname{cosh} u\sin v,\;a\operatorname{sinh} u\cos v,\;0\bigr).

Resposta

– No primeiro quadrante, para cada valor fixo de u desenham-se elipses de semi-eixos \{a\operatorname{cosh} u,\;a\operatorname{sinh} u\}.
– Para cada valor fixo de v aparecem hip-erboles de semi-eixos \{a\cos v,\;a\sin v\}.
– Os vetores unitários do sistema cilíndrico elíptico são
\hat{\mathbf{u}} =\frac{(\operatorname{sinh} u\cos v,\;\operatorname{cosh} u\sin v,\,0)} {\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}u+\sin^{2}v}}, \quad \hat{\mathbf{v}} =\frac{(-\operatorname{cosh} u\sin v,\;\operatorname{sinh} u\cos v,\,0)} {\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}u+\sin^{2}v}}.

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