2.1.4 O sistema de coordenadas cilíndrico elíptico consiste em três famílias de superfícies:
-
;
-
;
-
.
Esboce as superfícies coordenadas
constante e
constante na interseção com o primeiro quadrante do plano
. Mostre os vetores unitários
e
. O intervalo de
é
. O intervalo de
é
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente desenhe, no primeiro quadrante do plano
, as curvas coordenadas de um sistema cilíndrico elíptico: as superfícies
const e
const dadas pelas equações
além de mostrar os vetores unitários
e
. Para isso, vamos usar a parametrização natural do sistema e tirar daí as curvas e os vetores de base.
Passo 2
A parametrização típica desse sistema é
onde
e
. Com essa fórmula, toda curva de
ou
fica automaticamente definida.
Passo 3
Para
fixo, variando
no primeiro quadrante (
), temos
ou seja, uma elipse de semi-eixos
(no eixo
) e
(no eixo
).
Para fixo, variando
, aparece
Para
uma hip-erbole com semi-eixos
e
. No primeiro quadrante basta desenhar algumas elipses para vários
e algumas hip-erboles para vários
.
Passo 4
Agora vamos os vetores de base:
Derivando,
Passo 5
Calculamos as normas:
e, de forma análoga,
.
Logo o fator de escala comum é
Logo o fator de escala comum é
e os vetores unitários são
Resposta
– No primeiro quadrante, para cada valor fixo de
desenham-se elipses de semi-eixos
.
– Para cada valor fixo de aparecem hip-erboles de semi-eixos
.
– Os vetores unitários do sistema cilíndrico elíptico são
– Para cada valor fixo de
– Os vetores unitários do sistema cilíndrico elíptico são