2.1.4 O sistema de coordenadas cilíndrico elíptico consiste em três famílias de superfícies:

  1. x^2a^2 cosh ^2 u+y^2a^2 sen h^2 u=1;
  2. x^2a^2 cos ^2 v-y^2a^2 sen^2 v=1;
  3. z=z.
Esboce as superfícies coordenadas u= constante e v= constante na interseção com o primeiro quadrante do plano x y. Mostre os vetores unitários u e v. O intervalo de u é 0 <= u<infty. O intervalo de v é 0 <= v <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe, no primeiro quadrante do plano xy, as curvas coordenadas de um sistema cilíndrico elíptico: as superfícies u= const e v= const dadas pelas equações
x^2a^2cosh^2u+y^2a^2sinh^2u=1,
x^2a^2cos^2v-y^2a^2sin^2v=1,
além de mostrar os vetores unitários u e v. Para isso, vamos usar a parametrização natural do sistema e tirar daí as curvas e os vetores de base.

Passo 2

A parametrização típica desse sistema é
x = a,cosh ucos v, y = a,sinh usin v, z = z,
onde 0<= u<infty e 0<= v<=2pi. Com essa fórmula, toda curva de u=u0 ou v=v0 fica automaticamente definida.

Passo 3

Para u=u0 fixo, variando v no primeiro quadrante ( 0<= v<=pi/2), temos
x^2a^2cosh^2u0+y^2a^2sinh^2u0 = cos^2v + sin^2v = 1,
ou seja, uma elipse de semi-eixos acosh u0 (no eixo x) e asinh u0 (no eixo y).
Para v=v0 fixo, variando u, aparece
x^2a^2cos^2v0-y^2a^2sin^2v0 = cosh^2u - sinh^2u = 1,
uma hip-erbole com semi-eixos acos v0 e asin v0. No primeiro quadrante basta desenhar algumas elipses para vários u0 e algumas hip-erboles para vários v0.

Passo 4

Agora vamos os vetores de base:
r(u,v) = l(acosh ucos v,;asinh usin v,;0r)
Derivando,
ru = partialrpartial u = l(asinh ucos v,;acosh usin v,;0r),
rv = partialrpartial v = l(-acosh usin v,;asinh ucos v,;0r)

Passo 5

Calculamos as normas:
lvertrurvert^2 = a^2l(sinh^2ucos^2v+cosh^2usin^2vr) = a^2l(sinh^2u+sin^2vr),
e, de forma análoga, lvertrvrvert = araizsinh^2u+sin^2v.
Logo o fator de escala comum é
h(u,v)=araizsinh^2u+sin^2v,
e os vetores unitários são
u =ruh(u,v) =1araizsinh^2u+sin^2v l(asinh ucos v,;acosh usin v,;0r),
v =rvh(u,v) =1araizsinh^2u+sin^2v l(-acosh usin v,;asinh ucos v,;0r)

Resposta

– No primeiro quadrante, para cada valor fixo de u desenham-se elipses de semi-eixos acosh u,;asinh u.
– Para cada valor fixo de v aparecem hip-erboles de semi-eixos acos v,;asin v.
– Os vetores unitários do sistema cilíndrico elíptico são
u =(sinh ucos v,;cosh usin v,,0) raizsinh^2u+sin^2v, v =(-cosh usin v,;sinh ucos v,,0) raizsinh^2u+sin^2v

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