(ESPM-2000) O valor do trinômio do segundo grau -x^2+4 x+k é negativo para todo número real x , se, e somente se,
(A) 2<k<5
(B) k>4
(C) k=0
(D) k<-4

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
f(x) = -x^2 + 4x + k
e pede a condição em k para que f(x)<0 para todo xinR. O conteúdo envolvido é estudo de parábolas: como o sinal de a determina se a parábola abre para cima ou para baixo, e como usar o vértice para achar o valor extremo.

Passo 2

Identificamos os coeficientes:
a = -1, b = 4, c = k
Como a<0, a parábola abre para baixo e atinge um valor máximo no vértice.

Passo 3

O x-do-vértice é dado por
xv = -b2a = -42cdot(-1) = 2
O valor máximo é
f(2) = -(2)^2 + 4cdot2 + k = -4 + 8 + k = k + 4

Passo 4

Para que f(x) seja sempre negativa, seu valor máximo deve ser negativo, isto é
k + 4 < 0 Longrightarrow k < -4

Resposta

(D) ,k<-4

Exercícios de Livros Relacionados