(ESPM-2004) Se x é um número real tal que x+\frac{1}{x}=3, então o valor de x^{3}+\frac{1}{x^{3}} é:
а) 27 ;
d) 18 ;
b) 25 ;
e) 15 .
c) 21 ;

Passo 1

O enunciado diz que x é um real diferente de zero e satisfaz
x + \frac{1}{x} = 3.
Queremos encontrar
x^{3} + \frac{1}{x^{3}}.
O conteúdo envolvido é manipulação de expressões algébricas usando a expansão de um cubo de soma.

Passo 2

Usamos a identidade
(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3\,ab\,(a+b).
Tomando a = x e b = \tfrac{1}{x}, observe que ab = 1. Logo,
\bigl(x + \tfrac{1}{x}\bigr)^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3\,\bigl(x + \tfrac{1}{x}\bigr).

Passo 3

Como \,x + \tfrac{1}{x}=3, elevando ao cubo obtemos
3^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3\cdot 3 \quad\Longrightarrow\quad 27 = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 9.

Passo 4

Isolando x^{3} + \tfrac{1}{x^{3}}, fica
x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 27 - 9 = 18.

Resposta

A alternativa correta é a (d) 18.

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