Estabeleça as identidades:
cos 2 a=cos ^2 a-sen^2 a=1-2 sen^2 a=2 cos ^2 a-1.

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula de ângulo duplo para o cosseno, ou seja, mostrar que
cos 2a = cos^2a - sen^2a = 1 - 2,sen^2a = 2,cos^2a - 1
O que vamos usar é a fórmula de adição de arco para o cosseno e a identidade pitagórica cos^2a + sen^2a = 1.

Passo 2

Aplicando a fórmula de adição de cosseno
cos(a+b) = cos a,cos b - sena,senb,
com b=a, obtemos
cos2a = cos a,cos a - sena,sena = cos^2a - sen^2a

Passo 3

Para eliminar cos^2a em função de sen^2a, use
cos^2a = 1 - sen^2a
Substituindo em cos2a = cos^2a - sen^2a, vem
cos2a = (1 - sen^2a) - sen^2a = 1 - 2,sen^2a

Passo 4

De modo análogo, eliminamos sen^2a usando
sen^2a = 1 - cos^2a
Substituindo em cos2a = cos^2a - sen^2a, resulta
cos2a = cos^2a - (1 - cos^2a) = 2,cos^2a - 1

Resposta

boxedcos 2a = cos^2a - sen^2a = 1 - 2,sen^2a = 2,cos^2a - 1

Exercícios de Livros Relacionados