5.2.11 Estabeleça os limites inferiores para \sum_{n=1}^{1,000,000} n^{-1}, admitindo que
(a) a constante de Euler-Mascheroni é conhecida.
\text { Resposta: } 14,392726<\sum_{n=1}^{1,000,000} n^{-1}<14,392727 .

Passo 1

O enunciado pede limites inferiores e superiores para a soma harmônica
H_{N}=\sum_{n=1}^{N}n^{-1}
com N=1{,}000{,}000, sabendo que
H_{N}-\ln N\;\xrightarrow[N\to\infty]{}\;\gamma,
onde \gamma é a constante de Euler–Mascheroni.

Passo 2

Uma desigualdade clássica (que se demonstra via integração ou Euler–Maclaurin) é
\frac{1}{2(N+1)}<H_{N}-\ln N-\gamma<\frac{1}{2N}.
Isto dá limites rigorosos para H_{N}:
\ln N+\gamma+\frac{1}{2(N+1)}<H_{N}<\ln N+\gamma+\frac{1}{2N}.

Passo 3

Agora basta tomar N=10^{6}. Primeiro note que
\ln(10^{6})=6\ln 10\approx6\cdot2,302585093=13,815510558.
Então
\ln N+\gamma\approx13,815510558+0,577215665=14,392726223.

Passo 4

Aplicando os termos de resto:
\text{limite inferior } =14,392726223+\frac{1}{2\cdot(10^{6}+1)} \approx14,392726223+0,000000500=14,392726723,
\text{limite superior } =14,392726223+\frac{1}{2\cdot10^{6}} =14,392726223+0,000000500=14,392726723.
Arredondando à sexta casa decimal obtemos
14,392726<H_{1{,}000{,}000}<14,392727.

Resposta

14,392726<\displaystyle\sum_{n=1}^{1{,}000{,}000}n^{-1}<14,392727

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