Mostre que o teste de Raabe é inconclusivo para P=1, estabelecendo que P=1 para as séries
u_{n}=\frac{1}{n(\ln n)^{2}} e que esta série converge.
5.2.4

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste de Raabe à série de termos
u_{n} = \frac{1}{n(\ln n)^{2}},
mostrando que o parâmetro
P = \lim_{n\to\infty} n\Bigl(\frac{u_{n}}{u_{n+1}} - 1\Bigr)
vale 1 (logo o teste é inconclusivo) e, em seguida, provar que a série \sum u_{n} converge. Vamos precisar do desenvolvimento assintótico de \ln(n+1) e do teste da integral para demonstrar convergência.

Passo 2

Calculemos a razão
\frac{u_{n}}{u_{n+1}} = \frac{\dfrac{1}{n(\ln n)^{2}}}{\dfrac{1}{(n+1)\bigl(\ln(n+1)\bigr)^{2}}} = \frac{n+1}{n}\,\Bigl(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Para n grande escrevemos
\ln(n+1) = \ln n + \ln\Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr) = \ln n + \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^{2}} + O\bigl(n^{-3}\bigr),
e portanto
\frac{\ln(n+1)}{\ln n} = 1 + \frac{1}{n\ln n} - \frac{1}{2n^{2}\ln n} + O\bigl(n^{-3}/\ln n\bigr).
Elevando ao quadrado:
\Bigl(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\Bigr)^{2} = 1 + \frac{2}{n\ln n} + O\bigl(n^{-2}/\ln n\bigr).
Multiplicando por \frac{n+1}{n}=1+\tfrac1n resulta
\frac{u_{n}}{u_{n+1}} = \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)\Bigl(1 + \frac{2}{n\ln n} + \cdots\Bigr) = 1 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n\ln n} + O\bigl(n^{-2}\bigr).

Passo 4

Agora o parâmetro de Raabe é
P = \lim_{n\to\infty} n\Bigl(\frac{u_{n}}{u_{n+1}} - 1\Bigr) = \lim_{n\to\infty} n\Bigl(\frac{1}{n} + \frac{2}{n\ln n} + O(n^{-2})\Bigr) = 1 + \lim_{n\to\infty}\frac{2}{\ln n} = 1.
Como P=1, o teste de Raabe não nos diz se a série converge ou diverge.

Passo 5

Para concluir a convergência, usemos o teste da integral. Note que a função
f(x) = \frac{1}{x(\ln x)^{2}} \quad(x\ge2)
é positiva e decrescente, então
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}} \quad\text{converge} \iff \int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}\\ \text{converge}.
Mas
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}} = \Bigl[-\tfrac{1}{\ln x}\Bigr]_{2}^{\infty} = 0 - \bigl(-\tfrac{1}{\ln 2}\bigr) = \frac{1}{\ln 2},
que é finito. Logo a série converge.

Resposta

Para u_{n} = 1/\bigl(n(\ln n)^{2}\bigr) obtemos
P = 1,
portanto o teste de Raabe é inconclusivo, e pelo teste da integral a série \sum u_{n} converge.

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