Mostre que o teste de Raabe é inconclusivo para
, estabelecendo que
para as séries
e que esta série converge.
5.2.4
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teste de Raabe à série de termos
mostrando que o parâmetro
vale
(logo o teste é inconclusivo) e, em seguida, provar que a série
converge. Vamos precisar do desenvolvimento assintótico de
e do teste da integral para demonstrar convergência.
Passo 2
Calculemos a razão
Passo 3
Para
grande escrevemos
e portanto
Elevando ao quadrado:
Multiplicando por
resulta
Passo 4
Agora o parâmetro de Raabe é
Como
, o teste de Raabe não nos diz se a série converge ou diverge.
Passo 5
Para concluir a convergência, usemos o teste da integral. Note que a função
é positiva e decrescente, então
Mas
que é finito. Logo a série converge.
Resposta
Para
obtemos
portanto o teste de Raabe é inconclusivo, e pelo teste da integral a série
converge.