Teste para convergência
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot n^{1 / n}}.
5.2.7

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\cdot n^{1/n}}.
O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos aplicar o teste de comparação por limite. Para isso, primeiro analisamos o comportamento de n^{1/n} quando n\to\infty.

Passo 2

Calcular o limite
\lim_{n\to\infty}n^{1/n}.
Como n^{1/n} = e^{\tfrac{\ln n}{n}} e \lim_{n\to\infty}\tfrac{\ln n}{n}=0, concluímos que
\lim_{n\to\infty}n^{1/n} = e^0 = 1.

Passo 3

Definimos
a_n = \frac{1}{n\cdot n^{1/n}}, \qquad b_n = \frac{1}{n}.
Calculamos o limite da razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\tfrac{1}{n\cdot n^{1/n}}}{\tfrac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1/n}} = 1.
Esse limite é finito e positivo, logo \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Sabemos que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é divergente (série harmônica). Pelo teste de comparação por limite, como o limite da razão é 1>0, a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n também diverge.

Resposta

A série diverge.

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