Estude as funções dadas abaixo, determinando raízes, vértice, pontos de intersecção com os eixos, eixo de simetria, gráfico e conjunto imagem:
f(x)=-(3-x)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x)=-(3-x)^{2}
determinando
– as raízes (zeros) e pontos de intersecção com os eixos,
– o vértice,
– o eixo de simetria,
– o gráfico,
– e o conjunto imagem.
O que precisamos aplicar aqui é o conhecimento de funções quadráticas, em particular o fato de que uma expressão da forma
f(x)=a\,(x-h)^{2}+k
é uma parábola de vértice (h,k) e coeficiente a indica a concavidade (para cima se a>0, para baixo se a<0).

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=-(3-x)^{2},
note que (3-x)^{2}=(x-3)^{2}. Logo
f(x)=-(x-3)^{2}.
Isso já está na forma vértice com a=-1, h=3 e k=0. Como a<0, a parábola é voltada para baixo (concavidade para baixo).

Passo 3

Para achar as raízes, igualamos f(x) a zero:
-(x-3)^{2}=0
implica
(x-3)^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=3.
Portanto há uma raiz dupla em x=3, e o ponto de intersecção com o eixo x é
(3,0).

Passo 4

Para o ponto de intersecção com o eixo y, basta tomar x=0:
f(0)=-(0-3)^{2}=-( -3)^{2}=-9.
Então o ponto de intersecção com o eixo y é
(0,-9).

Passo 5

Já identificamos na forma vértice que
\text{vértice} = (h,k) = (3,0).é

Passo 6

O eixo de simetria de uma parábola na forma (x-h)^{2} é a reta vertical x=h. Aqui,
\text{eixo de simetria: }x=3.

Passo 7

Para esboçar o gráfico, marcamos:
– vértice em (3,0), máximo da função;
– intercepto y em (0,-9);
– como a parábola é simétrica em torno de x=3, há outro ponto de mesma altura de (0,-9) em x=6, isto é (6,-9);
– concavidade voltada para baixo.
Isso produz uma parábola invertida com pico em (3,0) e caindo para -\infty quando |x|\to\infty.

Passo 8

O conjunto imagem de uma parábola invertida cujo vértice está em k=0 é
\{\,y\mid y\le0\}
ou, em notação de intervalo,
(-\infty,0].

Resposta

raízes (e intersecção com o eixo x): (3,0) (dupla)
intersecção com o eixo y: (0,-9)
vértice: (3,0)
eixo de simetria: x=3
gráfico: parábola com concavidade para baixo, vértice em (3,0), passa por (0,-9) e (6,-9)
conjunto imagem: (-\infty,0]

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