Estude as funções dadas abaixo, determinando raízes, vértice, pontos de intersecção com os eixos, eixo de simetria, gráfico e conjunto imagem:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a função
determinando
– as raízes (zeros) e pontos de intersecção com os eixos,
– o vértice,
– o eixo de simetria,
– o gráfico,
– e o conjunto imagem.
O que precisamos aplicar aqui é o conhecimento de funções quadráticas, em particular o fato de que uma expressão da forma
– as raízes (zeros) e pontos de intersecção com os eixos,
– o vértice,
– o eixo de simetria,
– o gráfico,
– e o conjunto imagem.
O que precisamos aplicar aqui é o conhecimento de funções quadráticas, em particular o fato de que uma expressão da forma
é uma parábola de vértice
e coeficiente
indica a concavidade (para cima se
, para baixo se
).
Passo 2
Reescrevendo
note que
. Logo
Isso já está na forma vértice com
,
e
. Como
, a parábola é voltada para baixo (concavidade para baixo).
Passo 3
Para achar as raízes, igualamos
a zero:
implica
Portanto há uma raiz dupla em
, e o ponto de intersecção com o eixo
é
Passo 4
Para o ponto de intersecção com o eixo
, basta tomar
:
Então o ponto de intersecção com o eixo
é
Passo 5
Já identificamos na forma vértice que
Passo 6
O eixo de simetria de uma parábola na forma
é a reta vertical
. Aqui,
Passo 7
Para esboçar o gráfico, marcamos:
– vértice em , máximo da função;
– intercepto em
;
– como a parábola é simétrica em torno de , há outro ponto de mesma altura de
em
, isto é
;
– concavidade voltada para baixo.
Isso produz uma parábola invertida com pico em e caindo para
quando
.
– vértice em
– intercepto
– como a parábola é simétrica em torno de
– concavidade voltada para baixo.
Isso produz uma parábola invertida com pico em
Passo 8
O conjunto imagem de uma parábola invertida cujo vértice está em
é
ou, em notação de intervalo,
Resposta
raízes (e intersecção com o eixo
):
(dupla)
intersecção com o eixo :
vértice:
eixo de simetria:
gráfico: parábola com concavidade para baixo, vértice em , passa por
e
conjunto imagem:
intersecção com o eixo
vértice:
eixo de simetria:
gráfico: parábola com concavidade para baixo, vértice em
conjunto imagem: