Exemplo 7-12 Usando o dispositivo de Briot-Ruffini, efetue a divisão de por , e em seguida escreva como um produto.
Resolução. Procedendo como ensinamos acima, resulta:
1 0 0 0 0 32 -2
1 -2 4 -8 16 0
(Note que escrevemos .)
Temos que o quociente é , e o resto é 0 .
Portanto, podemos escrever

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio x^5+32 por x+2 usando o dispositivo de Briot–Ruffini (divisão sintética) e, em seguida, escrever x^5+32 como produto de um fator de primeiro grau e o quociente obtido. Isso envolve conceitos de divisão de polinômios e fatoração de soma de potências.

Passo 2

Listamos os coeficientes de x^5+32 em ordem decrescente de grau, inserindo zeros onde falta termo:
1,;0,;0,;0,;0,;32
Como o divisor é x+2, usamos o valor -2 na divisão sintética.

Passo 3

Montamos a tabela de Briot–Ruffini com na “janela” e os coeficientes na linha de cima. Embaixo, escrevemos os coeficientes do quociente e o resto:
Aqui, trazemos para baixo, multiplicamos por , somamos com o próximo coeficiente, e assim por diante, até obter resto .

Passo 4

Os números 1,,-2,,4,,-8,,16 são os coeficientes do quociente de grau 4, e o último valor 0 é o resto. Assim, o quociente é
x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16
e o resto é 0.
Como o resto vale 0, concluímos que x+2 divide exatamente x^5+32, ou seja, é um fator do polinômio.

Resposta

x^5 + 32 = (x+2)l(x^4 - 2x^3 + 4x^2 - 8x + 16r)

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