Dê exemplos onde xn e yn divergem para o infinito e
xn-yn diverge sem limite infinito.

Passo 1

O enunciado pede duas sequências xn e yn tais que
  1. limntoinftyxn = +infty,
  2. limntoinftyyn = +infty,
  3. xn - yn não tenha limite infinito (isto é, não tenda a +infty nem a -infty, podendo até oscilar).

Passo 2

Exemplo 1: defina
xn = n + sin(n),
yn = n.
Então para todo n grande temos xn approx n e yn = n, de modo que
limntoinftyxn = +infty e limntoinftyyn = +infty.
Porém
xn - yn = sin(n),
que oscila entre -1 e 1 sem ter limite. Logo xn-yn diverge sem limite infinito.

Passo 3

Exemplo 2: defina
xn = n + (-1)^n,
yn = n.
De novo temos
limntoinftyxn = +infty (pois xn = npm1toinfty) e limntoinftyyn = +infty.
Mas
xn - yn = (-1)^n,
que assume alternadamente +1 e -1, sem limite.

Resposta

Dois exemplos são:
(1) xn = n + sin(n), yn = n, com xn - yn = sin(n).
(2) xn = n + (-1)^n, yn = n, com xn - yn = (-1)^n.

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