Quais das seguintes sucessões convergem, quais divergem para infty ou -infty, quais divergem sem limite infinito?
(-1)^n raiz[n]n

Passo 1

O enunciado pede para classificar a sucessão
,(-1)^nraiz[n]nn=1^infty
como convergente, divergente para +infty ou -infty, ou divergente sem limite infinito. Vamos usar análise de limites e subsequências.

Passo 2

Estudamos primeiro a parte positiva
raiz[n]n=n^1/n. Tomemos o logaritmo:
lnl(n^1/nr)=ln nn
Como ln n/nto0 quando ntoinfty, temos
n^1/nto e^0=1

Passo 3

Agora considere o fator (-1)^n. Como raiz[n]nto1, os termos da sucessão são
(-1)^nraiz[n]n;approx;(-1)^n
Isso gera duas subsequências:
  • Para n par, (-1)^nraiz[n]nto+1.
  • Para n ímpar, (-1)^nraiz[n]nto-1.

Passo 4

Como as duas subsequências têm limites diferentes ( +1 e -1), a sucessão não converge para um único valor finito. Também não tende a +infty nem a -infty; ela simplesmente oscila entre valores próximos de pm1.

Resposta

A sucessão diverge sem limite infinito (oscila entre valores que se aproximam de +1 e -1).

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