Exercício 7-7 Divida (isto é, dê o quociente e o resto):
x^4+x^3+2 x+15 por 2 x^2-6 x+4.

Passo 1

Resumindo, queremos dividir o polinômio
x^4 + x^3 + 2x + 15
pelo polinômio
2x^2 - 6x + 4
O método é a divisão longa de polinômios em R[x]: organizamos os termos em ordem decrescente de grau, completamos com coeficientes zero quando faltar algum grau, e repetimos o processo de “dividir o termo líder, multiplicar o divisor e subtrair”, até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor.

Passo 2

O primeiro termo do quociente vem de dividir o termo de grau mais alto:
x^42x^2 = 12x^2
Multiplicando o divisor por tfrac12x^2 temos
12x^2 cdot (2x^2 - 6x + 4) = x^4 - 3x^3 + 2x^2
Subtraindo isso do dividendo original (completado em grau 2):
(x^4 + x^3 + 0x^2 + 2x + 15) ;-; (x^4 - 3x^3 + 2x^2) = 4x^3 - 2x^2 + 2x + 15

Passo 3

Agora dividimos o novo termo líder pelo líder do divisor:
4x^32x^2 = 2x
Multiplicando o divisor por 2x
2x cdot (2x^2 - 6x + 4) = 4x^3 - 12x^2 + 8x,
e subtraindo do resto anterior:
(4x^3 - 2x^2 + 2x) ;-; (4x^3 - 12x^2 + 8x) = 10x^2 - 6x + 15

Passo 4

Finalmente, dividimos
10x^22x^2 = 5
Multiplicando e subtraindo:
5 cdot (2x^2 - 6x + 4) = 10x^2 - 30x + 20,
(10x^2 - 6x + 15) ;-; (10x^2 - 30x + 20) = 24x - 5
Como o grau de 24x - 5 é 1, menor que o grau do divisor ( 2), este é o resto definitivo.

Resposta

Quociente: 12x^2 + 2x + 5
Resto: 24x - 5

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