Exercício Resolvido 5.11 Quantos inteiros entre 100 e 1000 possuem todos os dígitos distintos?
Solução: A resposta não é A(10,3). Para o primeiro digito temos 9 possibilidades ( 0 não é possibilidade). Para o segundo temos 9 possibilidades (nesse caso 0 é possibilidade) e para o terceiro 8. E assim temos existem 9•9•8 = 648 números entre 100 e 1000 que possuem todos os dígitos distintos.

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos inteiros entre 100 e 1000 possuem todos os dígitos distintos?”
Conteúdo: Princípio fundamental da contagem e permutações sem repetição. Vamos modelar cada número de três dígitos como (d1d2d3) e contar as possibilidades para cada casa.

Passo 2

Escolher o dígito das centenas d1. Como o número está em [100,999], d1 não pode ser zero, mas pode ser qualquer dígito de 1 a 9.
Assim, há
9
possibilidades para d1.

Passo 3

Escolher o dígito das dezenas d2. Agora pode entrar o zero, mas não podemos repetir o dígito já usado em d1. Dos 10 dígitos (0–9) excluímos o escolhido em d1, sobrando
9
possibilidades para d2.

Passo 4

Escolher o dígito das unidades d3. Temos 10 dígitos totais, mas não podemos usar nem d1 nem d2, restando
8
possibilidades para d3.

Passo 5

Pelo princípio multiplicativo, o total de números de três dígitos com todos os dígitos distintos é
9 times 9 times 8 = 648

Resposta

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