Exercício 7-4 Verifique se são identidades:
(I) (x+4)^3=x^3+12 x^2+48 x+64.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a igualdade
(x+4)^3=x^3+12x^2+48x+64
é uma identidade em x. Isso envolve o conteúdo de expansão de binômio, em especial o Teorema de Binômio de Newton para expoente 3.

Passo 2

Pelo Teorema de Binômio, para todo real x e constante a vale
(x+a)^3 = x^3 + 3a,x^2 + 3a^2,x + a^3
Aqui temos a=4. Substituindo:
(x+4)^3 = x^3 + 3cdot4,x^2 + 3cdot4^2,x + 4^3 = x^3 + 12x^2 + 3cdot16,x + 64 = x^3 + 12x^2 + 48x + 64

Passo 3

A expansão coincide exatamente com o lado direito dado no enunciado para todo valor de x. Isso mostra que a igualdade é verdadeira para qualquer x.

Resposta

A igualdade é uma identidade.

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