Nos Exercs. 13 a 18, reduza os números z1 e z2 à forma polar e determine as formas polares de z1 z2 e z1 / z2. Represente esses quatro números num gráfico.
z1=1+2 i, z2=2+i.

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos em forma retangular, z1=1+2,i e z2=2+i, e pede:
– reduzir cada um à forma polar;
– usar essas formas polares para obter as formas polares de z1z2 e de z1/z2;
– representar no plano complexo os quatro pontos correspondentes.
Para isso vamos usar as fórmulas
r = raizx^2+y^2, theta = arctan!l(tfracyxr)
para passar de retangular (x+iy) a polar r(costheta + isintheta), e as regras
z1z2colon r1r2,;theta1+theta2 z1z2colon r1r2,;theta1-theta2

Passo 2

Calculamos r1 e theta1 para z1=1+2,i.
r1 = raiz1^2+2^2 = raiz5, theta1 = arctan!l(tfrac21r) = arctan(2)
Logo
z1 = raiz5,l(cos(arctan(2)) + isin(arctan(2))r)

Passo 3

Calculamos r2 e theta2 para z2=2+i.
r2 = raiz2^2+1^2 = raiz5, theta2 = arctan!l(tfrac12r) = arctanl(tfrac12r)
Portanto
z2 = raiz5,l(cos(arctan(tfrac12)) + isin(arctan(tfrac12))r)

Passo 4

Agora z1z2 em polar:
r1r2 = raiz5,raiz5 = 5, theta1+theta2 = arctan(2) + arctanl(tfrac12r) = tfracpi2
Logo
z1z2 = 5l(cos(tfracpi2) + isin(tfracpi2)r) = 5,i

Passo 5

E z1/z2 em polar:
r1r2 = 1, theta1-theta2 = arctan(2) - arctanl(tfrac12r) approx 0,6435 rad
Assim
z1z2 = 1l(cos(arctan(2)-arctan(tfrac12)) + isin(arctan(2)-arctan(tfrac12))r) approx 0,8 + 0,6,i

Passo 6

Para o gráfico no plano complexo, basta traçar eixos Re (horizontal) e Im (vertical) e marcar os pontos:
;z1 em (1,2),
;z2 em (2,1),
;z1z2 em (0,5),
;z1/z2 em (0,8,0,6).

Resposta

z1 = raiz5l[cos(arctan(2)) + isin(arctan(2))r]
z2 = raiz5l[cos(arctan(tfrac12)) + isin(arctan(tfrac12))r]
z1z2 = 5l[cos(tfracpi2) + isin(tfracpi2)r]
dfracz1z2 = 1l[cos(arctan(2)-arctan(tfrac12)) + isin(arctan(2)-arctan(tfrac12))r]
No gráfico, os quatro pontos são (1,2), (2,1), (0,5) e (0,8,0,6).

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