Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas pessoas podem se sentar, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas?

Solução

Inicialmente notemos que cada maneira de elas se sentarem corresponde a um par ordenado de números distintos escolhidos entre 1,2, ldots, 10.
Exemplo: (2,6)l a pessoa A se senta na cadeira 2 a pessoa B se senta na cadeira 6
& (6,2)l a pessoa A se senta na cadeira 6 a pessoa B se senta na cadeira 2 & (3,4)l a pessoa A se senta na cadeira 3 a pessoa B se senta na cadeira 4
Inicialmente, calculemos o total de pares ordenados, que é igual a A10,2=10 cdot 9=90.
Agora temos que excluir os pares ordenados cujos elementos sejam números consecutivos. São eles:
(1,2)(2,3)(3,4) ldots(9,10) : 9 pares
(2,1)(3,2)(4,3) ldots(10,9): 9 pares
Ao todo, devemos excluir 9+9=18 pares.
Logo, o número de maneiras de as pessoas se sentarem, havendo ao menos uma cadeira entre elas, é 90-18=72.
É bastante importante o leitor notar a razão pela qual cada maneira é um par ordenado.

Passo 1

O enunciado pede: em 10 cadeiras numeradas de 1 a 10, de quantas maneiras duas pessoas distintas (A e B) podem se sentar de modo que haja pelo menos uma cadeira vazia entre elas? O conteúdo é contagem de arranjos (pares ordenados) com restrição de distância mínima entre as posições.

Passo 2

Primeiro contamos todas as formas de escolher duas cadeiras distintas para A e B, levando em conta a ordem (A em uma e B em outra). Isso é
A10,2 = 10 cdot 9 = 90

Passo 3

Agora excluímos os casos em que as cadeiras são consecutivas. Há 9 pares de cadeiras consecutivas na ordem crescente: (1,2),(2,3),dots,(9,10), e para cada um podemos trocar A e B, somando mais 9 pares na ordem decrescente. Logo, o total de casos proibidos é
9 + 9 = 18

Passo 4

Subtraindo os casos proibidos do total, obtemos o número de arranjos em que há pelo menos uma cadeira entre as pessoas:
90 - 18 = 72

Resposta

72

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