Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas pessoas podem se sentar, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas?
Solução
Inicialmente notemos que cada maneira de elas se sentarem corresponde a um par ordenado de números distintos escolhidos entre
.
Exemplo:
Inicialmente, calculemos o total de pares ordenados, que é igual a
.
Agora temos que excluir os pares ordenados cujos elementos sejam números consecutivos. São eles:
: 9 pares
pares
Ao todo, devemos excluir
pares.
Logo, o número de maneiras de as pessoas se sentarem, havendo ao menos uma cadeira entre elas, é
.
É bastante importante o leitor notar a razão pela qual cada maneira é um par ordenado.
Exemplo:
Agora temos que excluir os pares ordenados cujos elementos sejam números consecutivos. São eles:
Ao todo, devemos excluir
Logo, o número de maneiras de as pessoas se sentarem, havendo ao menos uma cadeira entre elas, é
É bastante importante o leitor notar a razão pela qual cada maneira é um par ordenado.
Passo 1
O enunciado pede: em 10 cadeiras numeradas de 1 a 10, de quantas maneiras duas pessoas distintas (A e B) podem se sentar de modo que haja pelo menos uma cadeira vazia entre elas? O conteúdo é contagem de arranjos (pares ordenados) com restrição de distância mínima entre as posições.
Passo 2
Primeiro contamos todas as formas de escolher duas cadeiras distintas para A e B, levando em conta a ordem (A em uma e B em outra). Isso é
Passo 3
Agora excluímos os casos em que as cadeiras são consecutivas. Há 9 pares de cadeiras consecutivas na ordem crescente:
, e para cada um podemos trocar A e B, somando mais 9 pares na ordem decrescente. Logo, o total de casos proibidos é
Passo 4
Subtraindo os casos proibidos do total, obtemos o número de arranjos em que há pelo menos uma cadeira entre as pessoas:
Resposta
72