8.3.6 Sem usar a série de Stirling, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que
sem usar a série de Stirling. O conteúdo aqui é comparar uma soma de retângulos com uma integral de uma função crescente (
). A ideia é aproximar a soma
por integrais em intervalos consecutivos.
Passo 2
Começamos reescrevendo
Agora, note que para cada inteiro
temos
pois
é constante em
.
Passo 3
Como
é crescente em
, para todo
vale
Integrando essa desigualdade em
de
a
dá
Passo 4
Somando a desigualdade do Passo 3 para
obtemos
No lado esquerdo isso é justamente
, e no direito é a integral sobre
: