8.3.6 Sem usar a série de Stirling, mostre que
\ln (n!)<\int_{1}^{n+1} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
\ln(n!) < \int_{1}^{n+1} \ln x \, dx
sem usar a série de Stirling. O conteúdo aqui é comparar uma soma de retângulos com uma integral de uma função crescente ( \ln x). A ideia é aproximar a soma \sum_{k=1}^n \ln k por integrais em intervalos consecutivos.

Passo 2

Começamos reescrevendo
\ln(n!) = \sum_{k=1}^n \ln k.
Agora, note que para cada inteiro k temos
\ln k = \int_{k}^{\,k+1} \ln k \, dx,
pois \ln k é constante em x.

Passo 3

Como \ln x é crescente em [k,k+1], para todo x\in (k,k+1] vale
\ln k < \ln x.
Integrando essa desigualdade em x de k a k+1
\int_{k}^{\,k+1} \ln k \, dx < \int_{k}^{\,k+1} \ln x \, dx.

Passo 4

Somando a desigualdade do Passo 3 para k=1,2,\dots,n obtemos
\sum_{k=1}^n \int_{k}^{\,k+1} \ln k \, dx < \sum_{k=1}^n \int_{k}^{\,k+1} \ln x \, dx.
No lado esquerdo isso é justamente \sum_{k=1}^n \ln k = \ln(n!), e no direito é a integral sobre [1,n+1]:
\ln(n!) < \int_{1}^{\,n+1} \ln x \, dx.

Resposta

\ln(n!) < \int_{1}^{n+1} \ln x \, dx.

Exercícios de Livros Relacionados