8.3.6 Sem usar a série de Stirling, mostre que
ln (n!)<integral1^n+1 ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
ln(n!) < integral1^n+1 ln x , dx
sem usar a série de Stirling. O conteúdo aqui é comparar uma soma de retângulos com uma integral de uma função crescente ( ln x). A ideia é aproximar a soma sumk=1^n ln k por integrais em intervalos consecutivos.

Passo 2

Começamos reescrevendo
ln(n!) = sumk=1^n ln k
Agora, note que para cada inteiro k temos
ln k = integralk^,k+1 ln k , dx,
pois ln k é constante em x.

Passo 3

Como ln x é crescente em [k,k+1], para todo xin (k,k+1] vale
ln k < ln x
Integrando essa desigualdade em x de k a k+1
integralk^,k+1 ln k , dx < integralk^,k+1 ln x , dx

Passo 4

Somando a desigualdade do Passo 3 para k=1,2,dots,n obtemos
sumk=1^n integralk^,k+1 ln k , dx < sumk=1^n integralk^,k+1 ln x , dx
No lado esquerdo isso é justamente sumk=1^n ln k = ln(n!), e no direito é a integral sobre [1,n+1]:
ln(n!) < integral1^,n+1 ln x , dx

Resposta

ln(n!) < integral1^n+1 ln x , dx

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