8.3.6 Sem usar a série de Stirling, mostre que
\ln (n!)>\int_{1}^{n} \ln x d x ; n é um inteiro \geq 2 .
Observe que a média aritmética dessas duas integrais dá uma boa aproximação para a série de Stirling.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para inteiro n\ge2,
\ln(n!)>\int_{1}^{n}\ln x\,dx.
O conteúdo que vamos usar é a interpretação da integral como área e o fato de que \ln x é crescente em [1,n], o que nos permite comparar a integral com somas de retângulos (Riemann).

Passo 2

Vamos primeiro calcular a integral explicitamente. Usando integração por partes em
\int\ln x\,dx,
tomamos u=\ln x, dv=dx, daí du=\tfrac{1}{x}dx, v=x. Logo
\int_{1}^{n}\ln x\,dx =\Bigl[x\ln x - x\Bigr]_{1}^{n} =\bigl(n\ln n - n\bigr)-\bigl(1\cdot\ln1 - 1\bigr) =n\ln n - n + 1.

Passo 3

Agora particionamos o intervalo [1,n] em subintervalos de comprimento 1:
[1,2],\,[2,3],\dots,[n-1,n].
Como \ln x é crescente, em cada subintervalo [k,k+1] a altura do retângulo à direita, \ln(k+1), é >= do que o valor de \ln x em qualquer ponto de [k,k+1]. Logo a soma de áreas desses retângulos é maior que a área sob a curva:
\int_{1}^{n}\ln x\,dx <\sum_{k=1}^{n-1}\ln\bigl(k+1\bigr)\cdot1 =\sum_{k=2}^{n}\ln k.

Passo 4

Repare que
\sum_{k=2}^{n}\ln k =\sum_{k=1}^{n}\ln k-\ln1 =\ln(n!)-0 =\ln(n!).
Assim concluímos
\int_{1}^{n}\ln x\,dx<\ln(n!),
ou seja
\ln(n!)>\int_{1}^{n}\ln x\,dx.

Resposta

\boxed{\ln(n!)>\int_{1}^{n}\ln x\,dx.}

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