8.3.6 Sem usar a série de Stirling, mostre que
ln (n!)>integral1^n ln x d x ; n é um inteiro >= 2 .
Observe que a média aritmética dessas duas integrais dá uma boa aproximação para a série de Stirling.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para inteiro n>=2,
ln(n!)>integral1^nln x,dx
O conteúdo que vamos usar é a interpretação da integral como área e o fato de que ln x é crescente em [1,n], o que nos permite comparar a integral com somas de retângulos (Riemann).

Passo 2

Vamos primeiro calcular a integral explicitamente. Usando integração por partes em
integralln x,dx,
tomamos u=ln x, dv=dx, daí du=tfrac1xdx, v=x. Logo
integral1^nln x,dx =l[xln x - xr]1^n =l(nln n - nr)-l(1cdotln1 - 1r) =nln n - n + 1

Passo 3

Agora particionamos o intervalo [1,n] em subintervalos de comprimento 1:
[1,2],,[2,3],dots,[n-1,n]
Como ln x é crescente, em cada subintervalo [k,k+1] a altura do retângulo à direita, ln(k+1), é >= do que o valor de ln x em qualquer ponto de [k,k+1]. Logo a soma de áreas desses retângulos é maior que a área sob a curva:
integral1^nln x,dx <sumk=1^n-1lnl(k+1r)cdot1 =sumk=2^nln k

Passo 4

Repare que
sumk=2^nln k =sumk=1^nln k-ln1 =ln(n!)-0 =ln(n!)
Assim concluímos
integral1^nln x,dx<ln(n!),
ou seja
ln(n!)>integral1^nln x,dx

Resposta

boxedln(n!)>integral1^nln x,dx

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