8.3.6 Sem usar a série de Stirling, mostre que
é um inteiro
.
Observe que a média aritmética dessas duas integrais dá uma boa aproximação para a série de Stirling.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para inteiro
,
O conteúdo que vamos usar é a interpretação da integral como área e o fato de que
é crescente em
, o que nos permite comparar a integral com somas de retângulos (Riemann).
Passo 2
Vamos primeiro calcular a integral explicitamente. Usando integração por partes em
tomamos
,
, daí
,
. Logo
Passo 3
Agora particionamos o intervalo
em subintervalos de comprimento
:
Como
é crescente, em cada subintervalo
a altura do retângulo à direita,
, é
do que o valor de
em qualquer ponto de
. Logo a soma de áreas desses retângulos é maior que a área sob a curva:
Passo 4
Repare que
Assim concluímos
ou seja