Prove que, se
a série
converge.
5.2.1 Esses dois testes, conhecidos como testes de limites, costumam ser convenientes para estabelecer a convergência de uma série. Eles podem ser tratados como testes de comparação, comparando com
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma sequência
com
e queremos mostrar que a série
converge. O conteúdo teórico que vamos usar é o teste de comparação com séries p de Riemann, ou seja, comparar
com
para algum
.
Passo 2
Como
, podemos escolher um expoente
Então consideramos a razão
Como sabemos que
, escrevemos
pois
.
Passo 3
Do limite acima segue que existe
tal que, para todo
,
Passo 4
Agora aplicamos o teste de comparação: para
temos
e sabemos que a série de p-Riemann
converge porque
. Logo, pela comparação, também
converge. Somando os primeiros
termos, obtemos que
é soma de um número finito de termos mais uma série convergente, portanto converge.
Resposta
A série
converge.