Prove que, se
\lim _{n \rightarrow \infty} n^{p} u_{n}=A<\infty, \quad p>1,
a série \sum_{n=1}^{\infty} u_{n} converge.
5.2.1 Esses dois testes, conhecidos como testes de limites, costumam ser convenientes para estabelecer a convergência de uma série. Eles podem ser tratados como testes de comparação, comparando com
\sum_{n} n^{-q}, \quad 1 \leq q<p .

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma sequência (u_n) com
\lim_{n\to\infty}n^{p}u_{n}=A<\infty, \qquad p>1,
e queremos mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}
converge. O conteúdo teórico que vamos usar é o teste de comparação com séries p de Riemann, ou seja, comparar u_n com n^{-q} para algum q>1.

Passo 2

Como p>1, podemos escolher um expoente
q\quad\text{tais que}\quad1<q<p.
Então consideramos a razão
\frac{u_{n}}{n^{-q}}=n^{q}\,u_{n}.
Como sabemos que n^{p}u_{n}\to A, escrevemos
n^{q}u_{n} = n^{q-p}\bigl(n^{p}u_{n}\bigr) \;\longrightarrow\; 0 \quad(n\to\infty),
pois q-p<0.

Passo 3

Do limite acima segue que existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N,
n^{q}u_{n}<1 \quad\Longrightarrow\quad u_{n}<n^{-q}.

Passo 4

Agora aplicamos o teste de comparação: para n\ge N temos
0\le u_{n}\le n^{-q},
e sabemos que a série de p-Riemann
\sum_{n=N}^{\infty}n^{-q}
converge porque q>1. Logo, pela comparação, também
\sum_{n=N}^{\infty}u_{n}
converge. Somando os primeiros N-1 termos, obtemos que
\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}
é soma de um número finito de termos mais uma série convergente, portanto converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_{n} converge.

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