Explique o que significa uma função ser O(1).

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que significa uma função pertencer à classe assintótica \mathcal{O}(1). Isso envolve o conceito de notação Big-O usado em análise de algoritmos para classificar o crescimento de funções à medida que o parâmetro de entrada (normalmente n) tende ao infinito.

Passo 2

A notação Big-O serve para descrever um limite superior assintótico de uma função. Formalmente dizemos que uma função f(n) pertence a \mathcal{O}(g(n)) se existirem constantes positivas C e n_0 tais que, para todo n \ge n_0,
|f(n)| \le C\,|g(n)|.
Isso significa que, além de um certo ponto n_0, f(n) cresce no máximo na mesma ordem de grandeza de g(n), até um fator constante.

Passo 3

No caso particular de \mathcal{O}(1), escolhemos g(n)=1. Logo f(n)\in\mathcal{O}(1) se existirem constantes C>0 e n_0 tais que, para todo n\ge n_0,
|f(n)| \le C.
Ou seja, a função f(n) fica limitada por uma constante, independentemente de n. Em termos de complexidade de algoritmos, isso corresponde a tempo de execução ou espaço de memória que não cresce conforme o tamanho da entrada aumenta.

Passo 4

Exemplos práticos:
  1. Acesso a um elemento de um vetor por índice:
    Para um vetor A, a operação A[k] sempre leva tempo constante, pois basta calcular o deslocamento de memória; seu custo não depende de n. Logo esse custo é \mathcal{O}(1).
  2. Testar se um número é par:
    A operação n \bmod 2 executa em tempo constante, pois é um único cálculo aritmético. Também é \mathcal{O}(1).
  3. Em contraste, percorrer todo o vetor para encontrar um valor é \mathcal{O}(n), pois o custo cresce linearmente com n.

Resposta

Uma função é \mathcal{O}(1) quando seu valor (ou custo de execução) permanece limitado por uma constante para entradas suficientemente grandes, ou seja, cresce no máximo de forma constante, sem depender de n. Isso caracteriza complexidade de tempo ou espaço constante.

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