FABRICAÇÃO A produção de uma fábrica é Q=0,06 x^{2}+0,14 x y+0,05 y^{2} unidades por dia, em que x é o número de homenshoras de mão de obra especializada e y o número de homens-horas de mão de obra não especializada. No momento são usados 60 homens-horas de mão de obra especializada e 300 homens-horas de mão de obra não especializada. Use os métodos do cálculo para estimar a variação de mão de obra não especializada necessária para compensar um aumento de 1 homem-hora da mão de obra especializada para que a produção não seja alterada.

Passo 1

O enunciado dá a produção diária
Q(x,y)=0,06\,x^{2}+0,14\,x\,y+0,05\,y^{2}
em que x e y são, respectivamente, homens-hora de mão de obra especializada e não especializada. No ponto (x_{0},y_{0})=(60,300) queremos um aumento \Delta x=1 que não altere Q. Para isso usamos o diferencial total e a ideia de manter dQ=0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de Q:
\frac{\partial Q}{\partial x} =2\cdot0,06\,x+0,14\,y =0,12\,x+0,14\,y,
\frac{\partial Q}{\partial y} =0,14\,x+2\cdot0,05\,y =0,14\,x+0,10\,y.

Passo 3

Avaliamo-las em (x_{0},y_{0})=(60,300):
\frac{\partial Q}{\partial x}\Big|_{(60,300)} =0,12\cdot60+0,14\cdot300 =7,2+42 =49,2,
\frac{\partial Q}{\partial y}\Big|_{(60,300)} =0,14\cdot60+0,10\cdot300 =8,4+30 =38,4.

Passo 4

O diferencial total é
dQ =\frac{\partial Q}{\partial x}\,dx +\frac{\partial Q}{\partial y}\,dy.
Para manter dQ=0 com dx=1 temos
0 =49,2\cdot1 +38,4\,dy \quad\Longrightarrow\quad dy=-\frac{49,2}{38,4}\,dx.

Passo 5

Substituindo dx=1:
dy=-\frac{49,2}{38,4}\approx -1,28125.

Resposta

É necessário reduzir a mão de obra não especializada em aproximadamente 1,28 homem-hora para que a produção permaneça inalterada.

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