Faça a divisão pelo método de Briot Ruffini e escreva a função na forma de fração.
\frac{x^{8}-1}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede a divisão do polinômio x^8 - 1 pelo binômio x + 2 usando o método de Briot–Ruffini (divisão sintética). Vamos determinar o quociente e o resto e reescrever a razão como um polinômio mais uma fração do resto sobre o divisor.

Passo 2

Em Briot–Ruffini usamos a raiz \alpha tal que x + 2 = 0, ou seja, \alpha = -2. Extraímos os coeficientes de x^8 - 1 do termo de maior grau ao termo constante:
1,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;0,\;-1.

Passo 3

Aplicamos a divisão sintética com \alpha = -2, organizando em tabela:
\begin{array}{c|rrrrrrrrr} -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\\ \hline & & -2 & 4 & -8 & 16 & -32 & 64 & -128 & 256 \\\ & 1 & -2 & 4 & -8 & 16 & -32 & 64 & -128 & 255 \end{array}
Na última linha, os primeiros 8 números são os coeficientes do quociente e o último é o resto.

Passo 4

Da última linha vemos que o quociente é o polinômio
x^7 - 2x^6 + 4x^5 - 8x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 64x - 128
e o resto é 255. Portanto, a divisão pode ser escrita como polinômio somado à fração do resto sobre o divisor.

Resposta

\frac{x^8 - 1}{x + 2} = x^7 - 2x^6 + 4x^5 - 8x^4 + 16x^3 - 32x^2 + 64x - 128 \;+\;\frac{255}{x + 2}.

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