Faça um estudo completo e esboce o gráfico das funções:
f(x)=x^3-3 x

Passo 1

O enunciado pede um estudo completo e o esboço do gráfico da função
f(x)=x^3-3x
Vamos analisar domínio, interceptos, simetria, derivadas para estudar monotonicidade e concavidade, localizar extremos e ponto de inflexão, e então esboçar a curva.

Passo 2

Como f é um polinômio, seu domínio é todo o conjunto dos números reais, R, e ela é contínua e diferenciável em qualquer ponto.

Passo 3

Interceptos e simetria:
1. Intercepto em y: f(0)=0, então passa por (0,0).
2. Interceptos em x: resolvendo
x^3-3x=0 Longrightarrow x(x^2-3)=0
temos x=0 e x=pmraiz3. Logo, cruza o eixo x em (0,0), (raiz3,0) e (-raiz3,0).
3. Simetria: calculando
f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x=-(x^3-3x)=-f(x),
vemos que f é função ímpar, logo simétrica em relação à origem.

Passo 4

Monotonicidade e extremos (primeira derivada):
f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)
Zerando f' x=pm1. Analisando o sinal de f':
  • Para x<-1, x^2-1>0 Rightarrow f'(x)>0 (função crescente).
  • Para -1<x<1, x^2-1<0 Rightarrow f'(x)<0 (função decrescente).
  • Para x>1, x^2-1>0 Rightarrow f'(x)>0 (função crescente).
Portanto em x=-1 há um máximo local e em x=1 um mínimo local.
Calculando os valores:
f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2, f(1)=1^3-3cdot1=1-3=-2

Passo 5

Concavidade e ponto de inflexão (segunda derivada):
f''(x)=6x
Temos f''(x)<0 para x<0 (concavidade para baixo) e f''(x)>0 para x>0 (concavidade para cima). O ponto de inflexão ocorre em x=0, com coordenada (0,0).

Passo 6

Resumo dos pontos-chave:
  • Domínio: R.
  • Interceptos: (-raiz3,0), (0,0), (raiz3,0).
  • Máximo local em (-1,2).
  • Mínimo local em (1,-2).
  • Ponto de inflexão em (0,0).
  • Cresce em (-infty,-1) e (1,infty); decresce em (-1,1).
  • Concavidade para baixo em (-infty,0) e para cima em (0,infty).
Com essas informações, agora esboçamos a curva: ela sobe desde -infty, atinge o máximo em (-1,2), desce passando por (-raiz3,0) até o ponto de inflexão (0,0), continua descendo até o mínimo em (1,-2), e então sobe para +infty.

Resposta

O esboço da curva de f(x)=x^3-3x apresenta:
  • Máximo local em (-1,2),
  • Ponto de inflexão e intercepto na origem (0,0),
  • Mínimo local em (1,-2),
  • Cruzamentos com o eixo x em pmraiz3,
  • Crescimento em (-infty,-1) e (1,infty),
  • Decrescimento em (-1,1),
  • Concavidade para baixo em (-infty,0) e para cima em (0,infty).
Visualmente, a curva é ímpar, sobe da esquerda, forma um topo em (-1,2), mergulha até (1,-2) e volta a subir à direita.

Exercícios de Livros Relacionados