Faça um estudo completo e esboce o gráfico das funções:
Passo 1
O enunciado pede um estudo completo e o esboço do gráfico da função
Vamos analisar domínio, interceptos, simetria, derivadas para estudar monotonicidade e concavidade, localizar extremos e ponto de inflexão, e então esboçar a curva.
Passo 2
Como
é um polinômio, seu domínio é todo o conjunto dos números reais,
, e ela é contínua e diferenciável em qualquer ponto.
Passo 3
Interceptos e simetria:
. Intercepto em
:
, então passa por
.
. Interceptos em
: resolvendo
temos
e
. Logo, cruza o eixo
em
,
e
.
. Simetria: calculando
vemos que
é função ímpar, logo simétrica em relação à origem.
Passo 4
Monotonicidade e extremos (primeira derivada):
Zerando
dá
. Analisando o sinal de
:
- Para
, (função crescente). - Para
, (função decrescente). - Para
, (função crescente).
Portanto em
há um máximo local e em
um mínimo local.
Calculando os valores:
Calculando os valores:
Passo 5
Concavidade e ponto de inflexão (segunda derivada):
Temos
para
(concavidade para baixo) e
para
(concavidade para cima). O ponto de inflexão ocorre em
, com coordenada
.
Passo 6
Resumo dos pontos-chave:
- Domínio:
. - Interceptos:
, , . - Máximo local em
. - Mínimo local em
. - Ponto de inflexão em
. - Cresce em
e ; decresce em . - Concavidade para baixo em
e para cima em .
Com essas informações, agora esboçamos a curva: ela sobe desde
, atinge o máximo em
, desce passando por
até o ponto de inflexão
, continua descendo até o mínimo em
, e então sobe para
.
Resposta
O esboço da curva de
apresenta:
- Máximo local em
, - Ponto de inflexão e intercepto na origem
, - Mínimo local em
, - Cruzamentos com o eixo
em , - Crescimento em
e , - Decrescimento em
, - Concavidade para baixo em
e para cima em .
Visualmente, a curva é ímpar, sobe da esquerda, forma um topo em
, mergulha até
e volta a subir à direita.