Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e de mínimo:
f(x)=xx-3

Passo 1

O enunciado pede para achar onde a função
f(x)=xx-3
é crescente ou decrescente e localizar possíveis extremos. O conteúdo envolvido é estudo de monotonicidade via derivada, usando a regra do quociente. Note que o domínio de f é Rsetminus3.

Passo 2

Aplicamos a regra do quociente para calcular
f'(x)=(x-3)cdotddx[x]-xcdotddx[x-3](x-3)^2 =(x-3)cdot1 - xcdot1(x-3)^2 =x-3 - x(x-3)^2 =-3(x-3)^2

Passo 3

Analisamos o sinal de
f'(x)=-3(x-3)^2
O numerador -3 é sempre negativo e o denominador (x-3)^2 é sempre positivo para todo xneq3. Logo,
f'(x)<0forall xneq3

Passo 4

Como f'(x)<0 em cada ponto do domínio, f é estritamente decrescente em cada componente do domínio. Portanto:
f é decrescente em (-infty,3).
f é decrescente em (3,infty).
Não há intervalo de crescimento.

Passo 5

Não há troca de sinal de f' em nenhum ponto interior do domínio, então não existem pontos de máximo ou mínimo local.

Resposta

Crescente: nenhum.
Decrescente: (-infty,3) e (3,infty).
Não há pontos de máximo nem mínimo local.

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