Um investidor aplica seu patrimônio em duas ações A e B; ele aplica uma porcentagem x na ação A e (1-x) na ação B. A lucratividade esperada (mu) e o risco da carteira (sigma^2) são dados por:
& mu=0,15-0,07 x & sigma^2=0,0047 x^2-0,0068 x+0,0025
a) Quais as porcentagens que o investidor deve aplicar em A e B para ter o menor risco possível?
b) Nas condições do item a, qual a lucratividade esperada da carteira?

Passo 1

O enunciado diz que o investidor aplica fração x em A e 1-x em B. A lucratividade esperada é
mu(x)=0,15-0,07x
e o risco (variância) da carteira é
sigma^2(x)=0,0047,x^2-0,0068,x+0,0025
Queremos (a) encontrar o valor de x que minimiza sigma^2(x) e (b) calcular mu nesse x.

Passo 2

Para minimizar uma função quadrática do tipo
f(x)=a,x^2+b,x+c
sabemos da fórmula do vértice que o minimizador está em
x^*=-b2a
Aqui identificamos
a=0,0047, b=-0,0068

Passo 3

Substituindo na fórmula do vértice:
x^*=--0,00682times0,0047 =0,00680,0094 approx0,7234

Passo 4

Como a segunda derivada é
sigma^2primeprime(x)=2a=2times0,0047=0,0094>0,
temos de fato mínimo em x^*. Logo a alocação ótima é
x^*approx0,7234(72,34% em A)
e
1-x^*approx0,2766(27,66% em B)

Passo 5

Na lucratividade esperada
mu(x)=0,15-0,07x
substituímos x=x^*=0,7234:
mu^*=0,15-0,07times0,7234 =0,15-0,0506 approx0,0994

Resposta

a) Aplicar aproximadamente 72,34 % em A e 27,66 % em B.
b) A lucratividade esperada nesse ponto é muapprox0,0994 (9,94 %).

Exercícios de Livros Relacionados