Faça o gráfico da função y=e^x+2.
Determine a reta tangente à curva y=e^x-1 em x=1 e faça um gráfico.

Passo 1

O enunciado pede dois gráficos e uma reta tangente. Primeiro, queremos esboçar a curva
y = e^x+2,
ou seja, um exponencial deslocado. Depois, devemos achar a reta tangente à curva
y = e^x-1
no ponto em que x=1 e também esboçar esse gráfico com a reta tangente. Vamos usar propriedades de translação de gráfico de e^x e derivada de exponencial para obter a inclinação da reta.

Passo 2

Para desenhar y = e^x+2:
  1. Note que e^x+2 = e^2 ,e^x, o que equivale a deslocar o gráfico de y=e^x duas unidades para a esquerda (ou escalar verticalmente por e^2, mas a translação horizontal é mais simples).
  2. O domínio é (-infty,infty) e a assíntota horizontal é y=0.
  3. Marque pontos-chaves: x = -2 ;Rightarrow; y = e^0 = 1, x = -1 ;Rightarrow; y = e^1 = e, x = 0 ;Rightarrow; y = e^2
  4. Esboce o gráfico passando por (-2,1), curvando-se para cima e aproximando-se de y=0 à esquerda.

Passo 3

Para achar a reta tangente a
y = e^x-1
em x=1:
  1. Calcule a derivada dydx = e^x-1
  2. No ponto x=1, o coeficiente angular é m = e^1-1 = e^0 = 1
  3. O ponto de tangência é l(1,,e^1-1r) = (1,1)
  4. A equação da reta tangente, usando y - y0 = m(x - x0), fica y - 1 = 1,(x - 1) Longrightarrow y = x

Passo 4

Para esboçar y = e^x-1 e sua tangente y=x:
  1. Reconheça que e^x-1 é o gráfico de e^x deslocado 1 unidade para a direita. A assíntota continua y=0.
  2. Marque pontos como (1,1) e (2,e) na curva.
  3. Desenhe a reta y=x, que passa por (1,1) com inclinação 1, tocando a curva exatamente nesse ponto.

Resposta

– Gráfico de y = e^x+2: curva exponencial deslocada 2 unidades para a esquerda, assíntota y=0, passando por (-2,1), (-1,e), (0,e^2).
– Reta tangente a y = e^x-1 em x=1:
boxedy = x
– Gráfico de y = e^x-1 (deslocado 1 para a direita) com a reta y=x tocando-a em (1,1).

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