As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular de 6 m de aresta da base formam 60^circ com o plano da base. Calcule o volume V e a área total dessa pirâmide.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base a=6 m e diz que cada face lateral faz um ângulo de 60^circ com o plano da base. Precisamos encontrar o volume V e a área total da pirâmide. Para isso vamos calcular primeiro a altura h usando a relação do ângulo diedro, depois o volume, o comprimento da geratriz (slant height) l, a área lateral e, por fim, a área total.

Passo 2

Seja phi o ângulo entre uma face lateral e a base. Tomando a geratriz AM que vai do vértice A ao ponto médio M de um lado da base, a projeção de A na base é o centro C. Assim
tan(phi);=;hCMcom CM=a2
Como phi=60^circ e tan(60^circ)=raiz3, temos
h = a2,tan(60^circ) = 62,raiz3 = 3raiz3 m

Passo 3

A área da base é
Áreabase = a^2 = 6^2 = 36 m^2 Á
Logo o volume da pirâmide é
V = 13,Áreabase,h = 13times36times3raiz3 =36raiz3 m^3 Á

Passo 4

A geratriz l (altura da face lateral) se obtém pelo teorema de Pitágoras no triângulo AMC:
l = raizh^2 + l(tfraca2r)^2 = raiz(3raiz3)^2 + 3^2 = raiz27+9 =6 m

Passo 5

A área de uma face lateral é
12,a,l = 12times6times6 = 18 m^2,
e como são 4 faces, a área lateral total vale
Árealateral = 4times18 =72 m^2 Á

Passo 6

A área total da pirâmide é a soma da base com as faces laterais:
Atotal = Áreabase + Árealateral = 36 + 72 =108 m^2 ÁÁ

Resposta

V = 36raiz3,m^3, Atotal = 108,m^2

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