As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular de 6 m de aresta da base formam
com o plano da base. Calcule o volume V e a área total dessa pirâmide.
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide quadrangular regular de aresta da base
e diz que cada face lateral faz um ângulo de
com o plano da base. Precisamos encontrar o volume
e a área total da pirâmide. Para isso vamos calcular primeiro a altura
usando a relação do ângulo diedro, depois o volume, o comprimento da geratriz (slant height)
, a área lateral e, por fim, a área total.
Passo 2
Seja
o ângulo entre uma face lateral e a base. Tomando a geratriz
que vai do vértice
ao ponto médio
de um lado da base, a projeção de
na base é o centro
. Assim
Como
e
, temos
Passo 3
A área da base é
Logo o volume da pirâmide é
Passo 4
A geratriz
(altura da face lateral) se obtém pelo teorema de Pitágoras no triângulo
:
Passo 5
A área de uma face lateral é
e como são 4 faces, a área lateral total vale
Passo 6
A área total da pirâmide é a soma da base com as faces laterais: