(Fatec-SP) Uma pirâmide quadrangular regular de base A B C D e vértice P tem volume igual a 36 raiz3 cm^3.
Considerando que a base da pirâmide tem centro O e que M é o ponto médio da aresta BC, se a medida do ângulo P widehatM O é 60^circ, então a medida da aresta da base dessa pirâmide é, em centímetros, igual a:

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide quadrangular regular de base ABCD (quadrado de lado s), centro da base O, vértice P, e volume 36raiz3. O ponto M é o ponto médio de BC, e sabemos que ang<= PMO=60^circ. O conteúdo é geometria espacial: vamos usar vetores para relacionar o ângulo com a altura h e depois aplicar a fórmula de volume de pirâmide.

Passo 2

Escolhemos coordenadas de forma conveniente:
O=(0,0,0), M=(tfrac s2,0,0) e P=(0,0,h).
Então
MO=O-M=(-tfrac s2,0,0)
e
MP=P-M=(-tfrac s2,0,h).
Pela definição de cosseno entre vetores,
cosang<= PMO =MO!cdot!MP|MO||MP| =s^24l(tfrac s2r)raiztfracs^24+h^2 =s2raiztfracs^24+h^2
Como cos60^circ=tfrac12, segue
s2raiztfracs^24+h^2=12

Passo 3

Da equação s2raiztfracs^24+h^2=tfrac12 obtemos
raiztfracs^24+h^2=s,
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h^2=s^2-tfracs^24=tfrac3s^24 Longrightarrow h=raiz32,s

Passo 4

A fórmula do volume da pirâmide é
V=13cdot(área da base)cdot h =13,s^2!l(raiz32sr) =raiz36,s^3 á
Como V=36raiz3, temos
raiz36,s^3=36raiz3 ;Longrightarrow; s^3=216 ;Longrightarrow; s=6

Resposta

A aresta da base mede 6 centímetros.

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