(Fatec-SP) Relativamente ao número complexo z=cos 1+i cdot sen 1 é verdade que:
a) z^2=1+i cdot sen 2
b) no plano de Argand-Gauss, os afixos de z^10 são pontos de uma circunferência de centro na origem e raio pi2.
c) no plano de Argand-Gauss, os afixos de z, z^2 e z^3 pertencem, respectivamente, ao primeiro, segundo e terceiro quadrantes.
d) no plano de Argand-Gauss, o afixo de z^100 pertence ao quarto quadrante.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z = cos 1 + i,sin 1
em que o ângulo está em radianos. O conteúdo principal é usar a forma polar/exponencial de Euler e a fórmula de De Moivre para potências, além de determinar em que quadrante cai um argumento.

Passo 2

Pela fórmula de Euler temos
z = e^icdot 1
e portanto, para todo ninZ,
z^n = e^i n = cos n + i,sin n

Passo 3

Alternativa (a) afirma que
z^2 = 1 + i,sin 2
Mas pela fórmula acima
z^2 = cos 2 + i,sin 2,
e como cos 2 neq 1, a) é falsa.

Passo 4

Alternativa (b) diz que os afixos de z^10 estão numa circunferência de raio tfracpi2. Porém z^10 é um único ponto com módulo
|z^10| = |z|^10 = 1^10 = 1,
logo fica na circunferência de raio 1, não tfracpi2. Então b) é falsa.

Passo 5

Alternativa (c) afirma que z, z^2 e z^3 estão nos quadrantes I, II e III, respectivamente. Vejamos os argumentos:
arg(z) = 1 radapprox 57^circ(I),
arg(z^2) = 2 radapprox 114^circ(II),
arg(z^3) = 3 radapprox 171^circ(II),
ou seja, z^3 ainda fica no segundo quadrante, não no terceiro. Logo c) é falsa.

Passo 6

Alternativa (d) diz que o afixo de z^100 cai no quarto quadrante. Calculamos
arg(z^100) = 100 rad bmod 2pi
Como 2piapprox 6,2832,
100 div 2pi approx 15,9155Longrightarrow 100 - 15cdot 2pi approx 5,7522 rad
E 5,7522 está entre 3pi/2approx4,7124 e 2piapprox6,2832, isto é, quarto quadrante. Portanto d) é verdadeira.

Resposta

(d)

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