(Fatec-SP) Relativamente ao número complexo
é verdade que:
a)
b) no plano de Argand-Gauss, os afixos de
são pontos de uma circunferência de centro na origem e raio
.
c) no plano de Argand-Gauss, os afixos de
e
pertencem, respectivamente, ao primeiro, segundo e terceiro quadrantes.
d) no plano de Argand-Gauss, o afixo de
pertence ao quarto quadrante.
a)
b) no plano de Argand-Gauss, os afixos de
c) no plano de Argand-Gauss, os afixos de
d) no plano de Argand-Gauss, o afixo de
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
em que o ângulo está em radianos. O conteúdo principal é usar a forma polar/exponencial de Euler e a fórmula de De Moivre para potências, além de determinar em que quadrante cai um argumento.
Passo 2
Pela fórmula de Euler temos
e portanto, para todo
,
Passo 3
Alternativa (a) afirma que
Mas pela fórmula acima
e como
, a) é falsa.
Passo 4
Alternativa (b) diz que os afixos de
estão numa circunferência de raio
. Porém
é um único ponto com módulo
logo fica na circunferência de raio 1, não
. Então b) é falsa.
Passo 5
Alternativa (c) afirma que
,
e
estão nos quadrantes I, II e III, respectivamente. Vejamos os argumentos:
ou seja,
ainda fica no segundo quadrante, não no terceiro. Logo c) é falsa.
Passo 6
Alternativa (d) diz que o afixo de
cai no quarto quadrante. Calculamos
Como
,
E
está entre
e
, isto é, quarto quadrante. Portanto d) é verdadeira.
Resposta
(d)