(UF-AM) Simplificando o número complexo (raiz22-raiz22 i)^2010 obtemos:
a) 2 i
b) i
c) -i
d) 1

Passo 1

O enunciado pede para simplificar o número complexo
l(raiz22-raiz22ir)^2010,
ou seja, aplicar a forma trigonométrica (ou exponencial) de números complexos e usar o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a base na forma trigonométrica. Note que
z = raiz22-raiz22i
O módulo de z é
|z| = raizl(raiz22r)^2 + l(-raiz22r)^2 = raiz24 + 24 = raiz1 = 1
O argumento de z satisfaz
arg(z) = arctan!l(Im(z)Re(z)r) = arctan(-1) = -pi4,
pois Re(z)>0 e Im(z)<0. Logo
z = cos!l(-tfracpi4r) + i,sin!l(-tfracpi4r) = cis!l(-tfracpi4r)

Passo 3

Pela fórmula de De Moivre, para n=2010 temos
z^2010 = l[cis(-tfracpi4)r]^2010 = cis!l(2010 times -tfracpi4r) = cis!l(-tfrac2010pi4r)

Passo 4

Agora simplificamos o ângulo
-2010pi4 = -502,5,pi = -502pi - tfracpi2
Como um giro de 2pi escala por múltiplos inteiros não altera a forma trigonométrica, ignoramos -502pi (que é 251 voltas completas de 2pi) e ficamos com
cis!l(-tfracpi2r) = cos!l(-tfracpi2r) + i,sin!l(-tfracpi2r) = 0 - i = -i

Resposta

-i, alternativa (c).

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