(UF-CE) O valor do número complexo (1+i^91+i^27)^20 é:
a) 1
b) i
c) -i
d) -1

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
(1+i^91+i^27)^20
e pede seu valor. O conteúdo envolve números complexos, em particular a periodicidade de i (período 4), a simplificação de frações complexas via conjugado e a propriedade de potências de i.

Passo 2

Aplicamos a periodicidade de i:
i^9 = i^9 bmod 4 = i^1 = i, i^27 = i^27 bmod 4 = i^3 = -i
Logo a fração interna fica
1+i^91+i^27 = 1+i1 - i

Passo 3

Para simplificar 1+i1 - i, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador (1+i):
1+i1 - i = (1+i)^2(1 - i)(1 + i)
Como
(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i, (1 - i)(1 + i) = 1 - i^2 = 2,
segue que
1+i1 - i = 2i2 = i

Passo 4

Agora elevamos i à potência 20. Como i^4 = 1, temos
i^20 = (i^4)^5 = 1^5 = 1

Resposta

1

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