Seja a matriz identidade de ordem três e a matriz [lll0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0].
Considere a equação polinomial na variável real x dada por det(A-x ")=0, em que o símbolo det(A - xl) indica o determinante da matriz A - xl. O produto das raízes da equação polinomial é:
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
e) -1
Passo 1
O enunciado dá a matriz identidade de ordem três
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
e a matriz
A = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0
e pede o produto das raízes da equação polinomial em x definida por
detl(A - x,Ir)=0
O conteúdo aqui é o polinômio característico de A e a relação entre suas raízes (autovalores) e o determinante de A.
Passo 2
O polinômio característico de A é
p(x)=detl(A - x,Ir)
Sejam lambda1,lambda2,lambda3 as raízes de p(x)=0. Essas raízes são exatamente os autovalores de A.
Passo 3
Pela teoria de polinômios característicos, o produto das raízes lambda1lambda2lambda3 é igual ao determinante de A, isto é,
lambda1lambda2lambda3 = det(A)
Passo 4
Para calcular det(A) note que A é a matriz de permutação que troca a linha 1 com a linha 3, ou seja, corresponde a uma única transposição. O determinante de uma transposição é -1. Logo,
det(A) = -1
Resposta
-1
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo Questões de Vestibulares.Questões de Vestibular - Ex. 180