Três números inteiros distintos de -20 a 20 foram escolhidos de forma que seu produto seja um número negativo. O número de maneiras diferentes de se fazer essa escolha é:
Passo 1
O enunciado pede para escolhermos três números inteiros distintos de
a
de modo que o produto seja negativo. O conteúdo aqui é contagem combinatória e análise de sinais. Para resolver, vamos:
- Excluir a escolha de
, pois qualquer seleção que inclua zero teria produto zero. - Contar quantas maneiras de escolher exatamente um negativo e dois positivos.
- Contar quantas maneiras de escolher exatamente três negativos.
- Somar esses casos.
Passo 2
Primeiro, identificamos as quantidades:
- Há
números negativos ( ). - Há
números positivos . - Há
zero, que excluímos porque gera produto zero.
O produto de três números é negativo exatamente quando o número de fatores negativos for ímpar, ou seja, quando tivermos ou um ou três números negativos.
Passo 3
Para os casos com um número negativo e dois positivos, escolhemos 1 dos 20 negativos e 2 dos 20 positivos. Assim,
pois
conta as formas de escolher o negativo e
conta as formas de escolher os dois positivos. Calculando,
Passo 4
Para os casos com três números negativos, basta escolher 3 dos 20 números negativos:
Passo 5
Somando os dois tipos de escolha que geram produto negativo, obtemos