Três números inteiros distintos de -20 a 20 foram escolhidos de forma que seu produto seja um número negativo. O número de maneiras diferentes de se fazer essa escolha é:

Passo 1

O enunciado pede para escolhermos três números inteiros distintos de -20 a 20 de modo que o produto seja negativo. O conteúdo aqui é contagem combinatória e análise de sinais. Para resolver, vamos:
  • Excluir a escolha de 0, pois qualquer seleção que inclua zero teria produto zero.
  • Contar quantas maneiras de escolher exatamente um negativo e dois positivos.
  • Contar quantas maneiras de escolher exatamente três negativos.
  • Somar esses casos.

Passo 2

Primeiro, identificamos as quantidades:
  • 20 números negativos ( -20,dots,-1).
  • 20 números positivos (1,dots,20).
  • 1 zero, que excluímos porque gera produto zero.
O produto de três números é negativo exatamente quando o número de fatores negativos for ímpar, ou seja, quando tivermos ou um ou três números negativos.

Passo 3

Para os casos com um número negativo e dois positivos, escolhemos 1 dos 20 negativos e 2 dos 20 positivos. Assim,
binom201binom202
pois binom201 conta as formas de escolher o negativo e binom202 conta as formas de escolher os dois positivos. Calculando,
binom201binom202 = 20 times 190 = 3800

Passo 4

Para os casos com três números negativos, basta escolher 3 dos 20 números negativos:
binom203 = 1140

Passo 5

Somando os dois tipos de escolha que geram produto negativo, obtemos
3800 + 1140 = 4940

Resposta

4940 maneiras diferentes.

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