(Fatec-SP) No universo R, o conjunto solução da inequação log 0,5(x^2-x+2)>-3 é:
a) ]-infty,-2[cup] 3,+infty[
b) ]-infty,-3[cup] 2,+infty[
c) ]-3,2[
d) ]-2,3[
e) varnothing

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a inequação
log0,5l(x^2-x+2r)>-3
O conteúdo aqui é teoria de logaritmos, especialmente o fato de que quando a base 0<b<1, a função logb(x) é decrescente, o que inverte o sinal da inequação ao “tirar o log”.

Passo 2

Antes de tudo, imponho o domínio do logaritmo:
x^2-x+2>0
O discriminante dessa quadrática é
De<a = (-1)^2-4cdot1cdot2=1-8=-7<0,
logo x^2-x+2>0 para todo xinR. Portanto o domínio é R.

Passo 3

Como a base é 0,5in(0,1), a função log0,5(u) é decrescente. Assim
log0,5l(x^2-x+2r)>-3 Long<=ftrightarrow x^2-x+2 < (0,5)^-3

Passo 4

Calculo o valor de (0,5)^-3:
(0,5)^-3 = 2^3 = 8
Então a inequação vira
x^2-x+2 < 8 Long<=ftrightarrow x^2-x-6 < 0

Passo 5

Fatoro o trinômio:
x^2-x-6 = (x-3)(x+2)
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a expressão é negativa entre as raízes -2 e 3. Logo a solução é
-2 < x < 3,
isto é, o intervalo ]-2,3[.

Resposta

A alternativa correta é a letra d) ]-2,3[.

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