Fatore o polinômio usando coeficientes inteiros.
x^{3}+2 x^{2}+x

Passo 1

O enunciado pede para fatorarmos o polinômio
x^{3} + 2x^{2} + x
usando coeficientes inteiros. O conteúdo aqui é fatoração de polinômios, aplicando primeiro o fator comum e depois reconhecendo quadrados perfeitos.

Passo 2

Observamos que cada termo tem um fator comum x. Extraindo esse fator, escrevemos
x^{3} + 2x^{2} + x = x \bigl(x^{2} + 2x + 1\bigr).

Passo 3

Agora precisamos fatorar o trinômio x^{2} + 2x + 1. Reconhecemos que é um quadrado perfeito, pois ele se ajusta ao padrão
a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}
com a=x e b=1. Logo,
x^{2} + 2x + 1 = (x + 1)^{2}.

Passo 4

Substituindo de volta na fatoração do passo 2, obtemos
x^{3} + 2x^{2} + x = x \,(x + 1)^{2}.

Resposta

x(x+1)^{2}

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