(FEI-SP) Se o número complexo z é tal que z=-1+i, uma forma trigonométrica de z^2 é:
a) z^2=2 cdot(cos 3 pi2+i sen 3 pi2)
b) z^2=4 cdot(cos 3 pi2+i sen 3 pi2)
c) z^2=2 cdot(cos pi2+i sen pi2)
d) z^2=4 cdot(cos pi2+i sen pi2)

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=-1+i e pede a forma trigonométrica de z^2. Vamos usar polarização de z (módulo e argumento) e, em seguida, o teorema de De Moivre para elevar ao quadrado.

Passo 2

Calcular o módulo e o argumento de z. O módulo é
r = |z| = raiz(-1)^2 + 1^2 = raiz2
Como z está em x<0, y>0 ( 2.º quadrante), o argumento é
theta = arg(z) = pi - arctan!l|tfrac1-1r| = pi - tfracpi4 = tfrac3pi4

Passo 3

Escrever z em forma trigonométrica:
z = rl(costheta + isinthetar) = raiz2l(costfrac3pi4 + isintfrac3pi4r)

Passo 4

Aplicar o teorema de De Moivre para obter z^2:
z^2 = l(raiz2r)^2l(cos(2theta) + isin(2theta)r) = 2l(costfrac3pi2 + isintfrac3pi2r)

Resposta

a) z^2=2 cdotl(cos tfrac3pi2+isin tfrac3pi2r)

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