(FEI-SP) Uma superfície esférica de raio 10 cm é cortada por um plano situado a uma distância de 8 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O comprimento dessa circunferência é:
a) 6 cm
b) 6 pi cm
c) 12 cm
d) 12 pi cm
e) 36 pi cm

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio R=10 cm e um plano a uma distância d=8 cm do centro, que intersecta a esfera numa circunferência. Para achar o comprimento dessa circunferência, vamos usar duas ideias:
  1. A interseção de uma esfera por um plano gera um círculo cuja raio r satisfaz
r^2 + d^2 = R^2
  1. O comprimento C de uma circunferência de raio r é
C = 2pi r

Passo 2

Aplicando a relação de Pitágoras na seção reta que passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano, obtemos
r = raizR^2 - d^2 = raiz10^2 - 8^2 = raiz100 - 64 = raiz36 = 6 cm

Passo 3

Com o raio r=6 cm, o comprimento da circunferência é
C = 2pi,r = 2pi times 6 = 12pi cm

Resposta

d) 12pi cm

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