(ITA-SP) A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120^circ e área igual a 3 pi cm^2. A área total e o volume deste cone medem, em cm^2 e cm^3, respectivamente:
a) 4 pi e 2 pi raiz23
b) 4 pi e pi raiz23
c) 4 pi e pi raiz2
d) 3 pi e 2 pi raiz23
e) pi e 2 pi raiz2

Passo 1

O enunciado diz que a superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 120^circ e área igual a 3pi c m^2. Precisamos encontrar a área total e o volume do cone. Vamos usar as fórmulas de área de setor, área lateral L, área total At, volume V e a relação da geratriz ell com o raio r e a altura h.

Passo 2

A área de um setor de raio ell e ângulo alpha é
alpha360^circ,piell^2
Aqui alpha=120^circ e essa área vale 3pi, logo
120^circ360^circ,piell^2 =13piell^2 =3pi Longrightarrow ell^2=9 Longrightarrow ell=3

Passo 3

O comprimento do arco do setor é
alpha360^circ,2piell =13cdot2piell
Esse arco é a circunferência da base do cone, 2pi r. Então
2pi r =13cdot2piell Longrightarrow r=ell3 =33 =1

Passo 4

Na seção reta do cone vale
ell^2=r^2+h^2
Substituindo ell=3 e r=1,
9=1+h^2 Longrightarrow h^2=8 Longrightarrow h=2raiz2

Passo 5

A área total do cone é a soma da área lateral e da área da base. A base tem área
pi r^2=picdot1^2=pi,
logo
At =underbrace3pilateral+underbracepibase =4pi

Passo 6

O volume do cone é
V=13pi r^2h =13picdot1^2cdot2raiz2 =2piraiz23

Resposta

A área total é 4pi c m^2 e o volume é 2piraiz23 c m^3, ou seja, alternativa (a).

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